Reihenidentität mittels Fourierreihen zeigen

15.01.2012, 16:06	lamba	Auf diesen Beitrag antworten »
Reihenidentität mittels Fourierreihen zeigen Hi zusammen, Ich versuche schon seit Tagen die Musterlösung einer Aufgabe zu verstehen und hoffe, dass ihr mir weiterhelfen könnt. Die Aufgabe: Zeige mittels Fourierreihen die Identität $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^{\infty}k^{-n}=-\frac{(2\pi i)^n}{2(n!)}B_n \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} B_n \end{eqnarray}$ die Bernoulli-Zahlen sind, die $\begin{eqnarray} \frac{z}{e^z-1}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}B_n\frac{z^n}{n!} \end{eqnarray}$ erfüllen. Der Anfang der Musterlösung lautet folgendemassen: Wir betrachten die absolut konvergenten Fourierreihen: $\begin{eqnarray} B_n(x):=\sum\limits_{k \in Z \textbackslash \{0\}}k^{-n}e^{ikx} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} B_n \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} 2\pi \end{eqnarray}$ -periodisch und es gilt $\begin{eqnarray} B_n^{'}=iB_{n-1} \end{eqnarray}$ . Für $\begin{eqnarray} n\in 2Z_{>0} \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} B_n(0)=2\sum\limits_{k=1}^{\infty}k^{-n} \end{eqnarray}$ Deshalb reicht es wenn wir $\begin{eqnarray} B_n(0) \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} B_n \end{eqnarray}$ ausdrücken. Es gilt: $\begin{eqnarray} I_1=\frac{1}{2\pi}\int\limits_{0}^{2\pi}1e^{-ikx}dx=\begin{cases}1 & k=0\\ 0 &k\neq 0\end{cases} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} I_2=\frac{1}{2\pi}\int\limits_{0}^{2\pi}xe^{-ikx}dx=\begin{cases}\pi & k=0\\ \frac{i}{k} &k\neq 0\end{cases} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} I_3=\frac{1}{2\pi}\int\limits_{0}^{2\pi}x^2e^{-ikx}dx=\begin{cases}\frac{4}{3}\pi^2 & k=0\\ \frac{2(1+ik\pi)}{k^2} &k\neq 0\end{cases} \end{eqnarray}$ Es folgt, dass $\begin{eqnarray} B_2(x)=\frac{\pi^2}{3}-\pi x+\frac{x^2}{2} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x\in [0,2\pi] \end{eqnarray}$ . Also sind die $\begin{eqnarray} B_n\|[0,2\pi] \end{eqnarray}$ Polynome, die durch $\begin{eqnarray} B_n^{'}=iB_{n-1} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \int\limits_0^{2\pi}B_n(x)dx=-i(B_{n+1}(2\pi)-B_{n+1}(0))=0 \end{eqnarray}$ eindeutig bestimmt sind. Wir ergänzen noch $\begin{eqnarray} B_1(x):=-iB_2^{'}(x)=i\pi -ix \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} B_0(x):=-iB_1^{'}(x)=-1 \end{eqnarray}$ Mit Induktion über n beweist man $\begin{eqnarray} B_n(x)=\sum\limits_{k=0}^{n}B_{n-k}(0)\frac{(2\pi i)^k}{k!} \end{eqnarray}$ . Daraus erhalten wir eine Relation für n>=2 $\begin{eqnarray} 0=B_n(2\pi)-B_n(0)=\sum\limits_{k=1}^{n}B_{n-k}(0)\frac{(2\pi)^k}{k!} \end{eqnarray}$ die die $\begin{eqnarray} B_n(0) \end{eqnarray}$ aus $\begin{eqnarray} B_0(0)=-1 \end{eqnarray}$ bestimmt. [...] Das Problem: Ich verstehe nicht, von wo der konstante Term in $\begin{eqnarray} B_2(x)=\frac{\pi^2}{3}-\pi x+\frac{x^2}{2} \end{eqnarray}$ kommt. Gibt es einen Grund, dass der Term $\begin{eqnarray} \frac{\pi^2}{3} \end{eqnarray}$ sein muss? Mir ist klar, dass $\begin{eqnarray} B_2(x) \end{eqnarray}$ der Form $\begin{eqnarray} B_2(x)=C-\pi x+\frac{x^2}{2} \end{eqnarray}$ entsprechen muss, damit der Fourierkoeffizient von $\begin{eqnarray} B_2(x) \end{eqnarray}$ gerade $\begin{eqnarray} k^{-2}=\frac{1}{k^2} \end{eqnarray}$ ist. Ich habe versucht einfach mit C weiterzurechnen und bin dann auf die selben $\begin{eqnarray} B_1(x) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} B_0(x) \end{eqnarray}$ gekommen wie in der Musterlösung. Anschliessend habe ich versucht C herauszufinden, indem ich wie in der Musterlösung beschrieben $\begin{eqnarray} B_1(x) \end{eqnarray}$ integriert habe, jedoch hatte sich dabei das C wieder herausgekürzt und zu nichts geführt.. Ich verstehe einfach nicht, wiso in der Musterlösung steht, dass die $\begin{eqnarray} B_n \end{eqnarray}$ 's eindeutig bestimmt sind. Ich hoffe jemand kann mir dabei helfen. Falls Ihr noch mehr von der Musterlösung sehen wollt, kann ich dies natürlich auch noch abtippen ;-) Vielen Dank

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