unbestimmtes Integral berechnen

15.01.2012, 16:45

1nstinct

unbestimmtes Integral berechnen

Hallo,

Ich häng schon seit einer Weile an dieser Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} \int_ a^b \! sin(e^{x} )*e^{x} \, dx \end{eqnarray*}$

Meine Idee :

$\begin{eqnarray*} \int_ a^b \! sin(e^{x} )*e^{x} \, dx = e^x*1/e^x*(-cos(e^x))-\int_ a^b \! e^x*1/e^x*(-cos(e^x) \, dx = (-cos(e^x))+\int_ a^b \! cos(e^x) \, dx = (-cos(e^x))+sin(e^x)*1/e^x \end{eqnarray*}$

Ist aber leider falsch -.-. Ich denke ich integriere den sin(e^x) bzw. cos(e^x) falsch.

Es wäre sehr nett, wenn sich das jemand anschauen könnte smile

15.01.2012, 16:55

Mulder

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RE: unbestimmtes Integral berechnen

Zitat:

Original von 1nstinct
Ist aber leider falsch -.-. Ich denke ich integriere den sin(e^x) bzw. cos(e^x) falsch.

Ja, vollkommen falsch. Das mit dem 1/e^x davor schreiben, das kannst du gleich mal wieder komplett vergessen, so funktioniert das nicht. Leite das doch mal wieder ab, da müsstest du mit der Produkt- oder Quotientenregel ran und da würdest du wirklich etwas vollkommen anderes erhalten. Mit partieller Integration ist hier sowieso nichts zu machen.

Dieses Integral wird denkbar einfach mit der Substitution e^x=t.

15.01.2012, 17:19

1nstinct

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RE: unbestimmtes Integral berechnen
Ich danke dir Mulder.
Es war eingendlich so einfach^^.

Eine allgemeine Frage habe ich noch:

In meinen Skript steht zur Substitution:

$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! f(\gamma x(t))\gamma '(t) \, dt = \int_{\gamma (a)}^{\gamma (b)} \! f(x) \, dx \end{eqnarray*}$

Bei dieser Aufgabe sind die Grenzen nicht angegeben. Aber muss ich im Ergebnis vermerken, dass das Integral nun von $\begin{eqnarray*} \gamma ( a) \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} \gamma (b) \end{eqnarray*}$ geht?

15.01.2012, 17:28

Mulder

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RE: unbestimmtes Integral berechnen
Das bezieht sich ja nur auf bestimmte Integrale. Bei unbestimmten Integralen is nix mit Grenzen, hier funktioniert es aber genau so:

$\begin{eqnarray*} \int f( \gamma(t)) \cdot \gamma'(t) \, \dd t = F(\gamma(t)) \end{eqnarray*}$

mit der Substitution $\begin{eqnarray*} \gamma(t)=x \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ eben eine Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist.

Beim unbestimmten Integrieren bleibt eben noch die Rücksubstitution, die man beim bestimmten Integral ja umgehen kann, indem man die Grenzen mitsubstituiert.

15.01.2012, 17:34

1nstinct

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RE: unbestimmtes Integral berechnen
Heisst das, dass in der Lösung von unbestimmten Integralen immer ein Integral-zeichen steht?

15.01.2012, 17:36

Mulder

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RE: unbestimmtes Integral berechnen

Zitat:

Original von 1nstinct
Heisst das, dass in der Lösung von unbestimmten Integralen immer ein Integral-zeichen steht?

Nein, das war ein dämlicher Tippfehler von mir (Copy&Paste halt). Ich hab's korrigiert, so stimmt es jetzt.

Sorry für die Verwirrung.