Normalverteilung: Wahrscheinlichkeit einer Differenz

15.01.2012, 18:43

dlh

Normalverteilung: Wahrscheinlichkeit einer Differenz

Meine Frage:
Ich finde bei folgender Aufgabe einfach keinen Lösungsweg:

Die Kilometerleistung eines PKW pro Tankfüllung sei normalverteilt mit µ = 1060 km und sigma = 160 km.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Differenz der nächsten beiden Kilometerleistungen höchstens 10 km beträgt?

Meine Ideen:
Meine idee war es, das ganze über die Symmetrie der Glockenkurve zu berechnen:
P(c-5 <= x <= c+5) allerdings is das eine Variable zu viel.

16.01.2012, 00:37

Black

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Betrachte die 2 Zufallsvariablen X,Y.
X soll dabei die Reichweite bei der 1. Fahrt, und Y die bei der 2. Fahrt sein.

Dann sind $\begin{eqnarray*} X,Y \text{u.i.v} \sim N(1060,160²) \end{eqnarray*}$

Nun ist also gefragt nach $\begin{eqnarray*} P(|X-Y|<10) \end{eqnarray*}$

Um das zu berechnen musst du zuerst noch die Verteilung von $\begin{eqnarray*} X-Y \end{eqnarray*}$ bestimmen, aber das sollte dir nicht allzu schwer fallen

16.01.2012, 11:15

dlh

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Danke schonmal für deine Antwort. Jedoch verstehe ich noch nicht so richtig, was ich für X, beziehungsweise Y, jetzt einsetzen muss.

Berechne ich nun erst die WK für einen fest gesetzen Wert, den ich mir vorher ausdenke, oder wie genau berechne ich das?

16.01.2012, 11:25

René Gruber

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Nochmal:

Zitat:

Original von Black
Um das zu berechnen musst du zuerst noch die Verteilung von $\begin{eqnarray*} X-Y \end{eqnarray*}$ bestimmen

Eine weitere Hilfestellung dazu: Es ist $\begin{eqnarray*} X-Y = X+(-Y) \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} X \sim \mathcal{N}(1060,160²) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (-Y) \sim \mathcal{N} (-1060,160²) \end{eqnarray*}$ gilt und beide unabhängig voneinander sind.

Noch nie davon gehört, wie die Verteilung der Summe unabhängiger normalverteilter Zufallsgrößen aussieht?

16.01.2012, 11:47

dlh

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Also erfolgt die Berechnung über $\begin{eqnarray*} P(\mu-5\leq \mu\leq \mu+5) \end{eqnarray*}$ oder verstehe ich das Falsch?

16.01.2012, 11:49

dlh

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Den Beitrag von mir hierüber einfach ignorieren, hatte den neuen von René noch nicht gelesen.

16.01.2012, 12:04

dlh

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Also wenn ich das richtige verstehe:

$\begin{eqnarray*} X - Y <=> X + (-Y) \sim N(\mu x + (-\mu y), \sigma^2 x + (-\sigma^2y)) \end{eqnarray*}$
aber das würde dann ja bedeuten:
$\begin{eqnarray*} X + (-Y) \sim N(1060 + (-1060), 160 + (-160)) \end{eqnarray*}$
wobei das ja dann wäre
$\begin{eqnarray*} X + (-Y) \sim N(0, 0) \end{eqnarray*}$

16.01.2012, 12:05

René Gruber

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Nein: Die Varianzen werden nicht subtrahiert, sie werden addiert!!!

16.01.2012, 12:24

dlh

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Okay, also:

$\begin{eqnarray*} X + (-Y) \sim N(0, 320) \end{eqnarray*}$
demnach
$\begin{eqnarray*} \phi(\frac{(X-Y)-0}{320}) \end{eqnarray*}$

Aber habe ich leider wirklich keine Idee, wie ich das nun in |X-Y| <= 10 einsetze.

Das ist ja nun keine Standardnormalverteilung mehr, und das verwirrt mich ein wenig.

16.01.2012, 12:34

dlh

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Oder ist es etwa $\begin{eqnarray*} P(|X-Y|\leq 10) = \phi (\frac{10-0}{320}) \approx 0,51 \end{eqnarray*}$ ?

16.01.2012, 13:04

René Gruber

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Leider ist so gut wie alles falsch. Zunächst die Verteilung, die lautet $\begin{eqnarray*} X + (-Y) \sim \mathcal{N}(0, 2\cdot 160^2) \end{eqnarray*}$ , d.h., es ist nicht $\begin{eqnarray*} \sigma=320 \end{eqnarray*}$ , sondern $\begin{eqnarray*} \sigma=\sqrt{2\cdot 160^2} = \sqrt{2}\cdot 160 \end{eqnarray*}$ , das ist bei der Berechnung mit $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ zu berücksichtigen!

Nächster Punkt: $\begin{eqnarray*} |X-Y|\leq 10 \end{eqnarray*}$ ist nicht dasselbe wie $\begin{eqnarray*} X-Y\leq 10 \end{eqnarray*}$ , so hast du aber leider gerechnet. Tatsächlich ist es dasselbe wie $\begin{eqnarray*} -10\leq X-Y\leq 10 \end{eqnarray*}$ , was sich ebenfalls in der Berechnung mit $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ wiederfinden sollte.

16.01.2012, 13:44

dlh

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Also zusammengefasst:

$\begin{eqnarray*} X - Y <=> X + (-Y) \sim N(\mu x + (-\mu y), \sigma^2 x + \sigma^2y) \end{eqnarray*}$
=> $\begin{eqnarray*} X + (-Y) \sim N(1060 + (-1060), 160^2 + 160^2) \end{eqnarray*}$
=> $\begin{eqnarray*} X + (-Y) \sim N(0, 160^2 + 160^2) \end{eqnarray*}$
=> $\begin{eqnarray*} \sigma=\sqrt{2\cdot 160^2} = \sqrt{2}\cdot 160 \end{eqnarray*}$

=> $\begin{eqnarray*} P(-10 \leq X-Y \leq 10) = \Phi (\frac{10-0}{\sqrt{2}\cdot 160}) - \Phi (\frac{-10-0}{\sqrt{2}\cdot 160}) = \Phi (0,044) - (1 - \Phi(0,044)) \approx 0,5180 - (1 - 0,5180) \approx 0,036 \approx 3,6% \end{eqnarray*}$

16.01.2012, 13:48

René Gruber

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Ja, sieht gut aus. Gerundet sind es (genaue Tabellenwerte vorausgesetzt) zwar eher 3.5% statt 3.6%, aber wir wollen mal nicht so kleinlich sein. Augenzwinkern

16.01.2012, 13:50

dlh

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Super. Vielen, vielen Dank für die schnelle Hilfe Freude

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