Menge aller HP ist abgeschlossen

14.01.2007, 17:02

slöp

Menge aller HP ist abgeschlossen

ich hoffe folgendes stimmt (ich glaube es aber nicht) falls fehler da sind sofort aufschreien:

$\begin{eqnarray*} B\subset M,\,H(B)=A \end{eqnarray*}$
B ist bel. Menge in M
H(B) ist Menge aller Häufungspunkte von B

zu zeigen ist:
H(B) ist abgeschlossen
also:
$\begin{eqnarray*} A\,abgeschlossen\Leftrightarrow\,M\setminus A\,ist\,offen\Leftrightarrow\forall\,x\in\,M\setminus A:\,x\,ist\,innerer\,Punkt\Leftrightarrow\,\forall\,x\in\,M\setminus A:\exists\mathbb \epsilon>0:U_\mathbb\epsilon\,(x)\subset\,M\setminus\,A \end{eqnarray*}$

vom Gegenteil:
$\begin{eqnarray*} \exists\,x\in\,M\setminus A:\forall\mathbb \epsilon>0:U_\mathbb\epsilon\,(x)\subset\,M\setminus\,A \end{eqnarray*}$
(ich hoffe das ist das gegenteil)
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow\,A=M\setminus\,A \end{eqnarray*}$
wiederspruch....also muss A abgeschlossen sein....

(U(Epsilon) ist eine Epsilonumgebung )

wenn das absoluter murks ist was ich da geschrieben hab bitte ich um einen tipp

14.01.2007, 17:25

Dual Space

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RE: Menge aller HP ist abgeschlossen

Zitat:

Original von slöp
vom Gegenteil:
$\begin{eqnarray*} \exists\,x\in\,M\setminus A:\forall\mathbb \epsilon>0:U_\mathbb\epsilon\,(x)\subset\,M\setminus\,A \end{eqnarray*}$
(ich hoffe das ist das gegenteil)
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow\,A=M\setminus\,A \end{eqnarray*}$
wiederspruch....also muss A abgeschlossen sein....

Das versteh ich nicht! Gegenteil von was und woraus folgt, dass A=M\A ist?

14.01.2007, 17:29

slöp

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ich nehme die letze aussage des langen äquivalenzschwanzes negiere diese und will zeigen das das nicht geht ....wenn x mit jeder epsilonumgebung im komplement enthalten ist dann folgt daraus das punkte vom komplement der menge selber sein müssen (dacht ich jedenfalls) das is quatsch also muss die vorherige aussage (die nicht negierte) stimmen

14.01.2007, 17:44

slöp

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aha in der schule macht man sowas interessant wieso isn das von topologie hierher geschoben da wars doch ganz gut

14.01.2007, 17:45

Dual Space

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Zitat:

Original von slöp
aha in der schule macht man sowas interessant wieso isn das von topologie hierher geschoben da wars doch ganz gut

ups...hier sollte das net landen *nochmalverschoben*

14.01.2007, 19:03

slöp

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gut die negation ist falsch
sie müsste lauten
$\begin{eqnarray*} \exists\,x\in\,M\setminus\,A:\forall\mathbb\epsilon>0:U_{\mathbb\epsilon}(x)\,keine\subset\,M\setminus\,A \end{eqnarray*}$

also kann die umgebung nur noch teilmenge von A oder von M dem Metrischen raum sein also was zum kuckuck kann ich damit nur anfangen
ich versuch mal bissl rum
sind wohl heut nicht grad so die Mengenmenschen am start oder wie?

14.01.2007, 19:33

slöp

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also ich hab irgendwie zu dem punkt gekommen das ich glaube die negation ist nicht notwendig
ich arbeite trotzdem damit weiter weil ich hoffe das ic hwenn ich das negative negiere das dann meine ausgangsfragestellung wieder beweisen kann

also ausgegangen von oben korrigierter negation die besagt das ein x im komplement von A existiert das mit keiner epsilon umgebung teilmenge des komplments ist folgere ich das diese umgebung nur teilmenge von A oder teilmenge vom Metrischen Raum M sein kann
in A kann es nicht liegen weil dies ja heißen würde das x in A liegt also muss die Umgebung geschnitten mit A sowie mit komplement von A nichtleer sein und das für alle Epsilon...dabei liegt x im komplement und ist daher ein Randpunkt vom komplement das bedeutet das komplement ist nicht offen und muss deswegen wohl abgeschlossen sein...wenn ich das negiere komme ich dazu das das komplement offen sein muss und damit A abgeschlossen was wiederum heist das wohl die menge aller häufungspunkte A einer Menge B eine abgeschlossenen menge ist

danke für jede korrektur ....falls unklarheiten herschen freue ich mich über jede kritik....
für mich gilt die sache jetrzt als bewiesen sagt bitte wenn das nicht stimmt

14.01.2007, 20:05

Abakus

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Zitat:

Original von slöp
also ausgegangen von oben korrigierter negation die besagt das ein x im komplement von A existiert das mit keiner epsilon umgebung teilmenge des komplments ist folgere ich das diese umgebung nur teilmenge von A oder teilmenge vom Metrischen Raum M sein kann

Woher nimmst du den metrischen Raum plötzlich ? Oben hast du das jedenfalls nicht vorausgesetzt. Was ist, wenn M = A gilt und das Komplement leer ist ? (dann existiert kein x, wie du es möchtest)

Grüße Abakus smile

EDIT: Text

14.01.2007, 20:36

slöp

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wenn M=A dann folgt das komplement ist leer die leere menge ist per def eine offene menge und das heist mein A ist geschlossen....das ist ziemlich trivial glaub ich

tut mir leid ja wir haben einen metrischen raum mit der metrik in R sorry hab ich vergessen

14.01.2007, 21:19

Abakus

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Zitat:

Original von slöp
wenn M=A dann folgt das komplement ist leer die leere menge ist per def eine offene menge und das heist mein A ist geschlossen....das ist ziemlich trivial glaub ich

Ja, und das sollte im Beweis stehen und anschließend A als verschieden von M vorausgesetzt werden.

Zitat:

also ausgegangen von oben korrigierter negation die besagt das ein x im komplement von A existiert das mit keiner epsilon umgebung teilmenge des komplments ist folgere ich das diese umgebung nur teilmenge von A oder teilmenge vom Metrischen Raum M sein kann

Teilmenge von M ist sie immer, das ist keine Bedingung. Teilmenge von A ist sie gerade nicht.

Zitat:

in A kann es nicht liegen weil dies ja heißen würde das x in A liegt also muss die Umgebung geschnitten mit A sowie mit komplement von A nichtleer sein und das für alle Epsilon...dabei liegt x im komplement und ist daher ein Randpunkt vom komplement das bedeutet das komplement ist nicht offen und muss deswegen wohl abgeschlossen sein...wenn ich das negiere komme ich dazu das das komplement offen sein muss und damit A abgeschlossen was wiederum heist das wohl die menge aller häufungspunkte A einer Menge B eine abgeschlossenen menge ist

Die Idee könnte richtig sein, ist aber nicht genügend klar ausgedrückt.

Grüße Abakus smile

EDIT: Text; es sollte einen einfachen Beweis geben

14.01.2007, 21:25

slöp

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vielen dank für deine mühe und danke du hast meinen abend gerettet über die eleganz lässt sich streiten das glaub ich dir

14.01.2007, 22:05

Abakus

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So überzeugt das nicht richtig.

Besser zeigst du: $\begin{eqnarray*} x \in \overline{A} \stackrel{!}{\Rightarrow} x \in A \end{eqnarray*}$ .

Sei also x Berührpunkt von A. Dann ist x entweder isolierter Punkt oder Häufungspunkt von A. Im ersten Fall gilt $\begin{eqnarray*} x \in A \end{eqnarray*}$ . Im zweiten Fall existieren in jeder $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ -Umgebung von x Punkte aus A. Diese Punkte sind alle Häufungspunkte von B, was bedeutet... (das kannst du formalisieren).

Damit solltest du nun folgern können, dass auch x Häufungspunkt von B ist und daher auch $\begin{eqnarray*} x \in A \end{eqnarray*}$ gilt.

Grüße Abakus smile

EDIT: ein Berührpunkt ist isolierter Punkt oder Häufungspunkt der Menge

15.01.2007, 01:59

slöp

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ich versuchs morgen nochmal irgendwie gehts grad nicht mehr smile

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