[Komplexe Funktionen] Beispielaufgabe

15.01.2012, 20:32	Steve94	Auf diesen Beitrag antworten »
[Komplexe Funktionen] Beispielaufgabe Guten Abend, Ich brauche für meine Facharbeit (Stufe 11) einige Teile der Funktionentheorie. Dazu habe ich mir mehrere Bücher angeschafft, darunter eins mit Beispielaufgaben. Diese sind leider ohne Musterlösung und deswegen hoffe ich, dass einer von euch helfen kann Aufgabe: 1. Sei $\begin{eqnarray} T(z) := \lambda z + \mu \bar{z} ; \mu, \lambda \in \mathbb{C} \end{eqnarray}$ Zeigen Sie: a) $\begin{eqnarray} T(z) \end{eqnarray}$ ist genau dann bijektiv, wenn $\begin{eqnarray} \lambda \bar{\lambda} \neq \mu \bar{\mu} \end{eqnarray}$ gilt. b) Es gilt $\begin{eqnarray} \lvert T(z) \rvert = \lvert z \rvert \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} z \in \mathbb{C} \end{eqnarray}$ genau dann, wenn $\begin{eqnarray} \lambda \mu = 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \lvert \lambda + \mu \rvert = 1 \end{eqnarray}$ . Ich hatte erstmal vor die a) zu machen, und wenn die gelöst ist einen Ansatz zur b) zu posten. Ansatz zu a): $\begin{eqnarray} T(z) \end{eqnarray}$ ist genau dann bijektiv, wenn jedem Element der Wertemenge nur genau ein Element der Definitionsmenge zugeordnet wird. Für $\begin{eqnarray} \lambda = x+\mathrm{i}y; x,y \in \mathbb{C} \wedge \mu = a+\mathrm{i}b; a,b \in \mathbb{C} \end{eqnarray}$ folgt: $\begin{eqnarray} \lambda \bar{\lambda} \neq \mu \bar{\mu} \Leftrightarrow (x+\mathrm{i}y)(x-\mathrm{i}y) \neq (a+\mathrm{i}b)(a-\mathrm{i}b) \end{eqnarray}$ Und $\begin{eqnarray} z = u+\mathrm{i}v \Rightarrow \bar{z}=u-\mathrm{i}v; u, v \in \mathbb{C} \end{eqnarray}$ Ich habe wirklich keine Idee, wie ich den Satz aus Aufgabenteil a) beweisen kann. Würde mich über Hinweise freuen!
15.01.2012, 21:01	Steve94	Auf diesen Beitrag antworten »
Kleine Tippfehler: $\begin{eqnarray} a,b,x,y,u,v \in \mathbb{R} \end{eqnarray}$ nicht $\begin{eqnarray} \mathbb{C} \end{eqnarray}$
15.01.2012, 21:39	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Fangen wir mal bei der 1) mit der Hinrichtung an. Wir machen einen Widerspruchsbeweis, nehmen also an, dass $\begin{eqnarray} \lambda \bar{\lambda} \neq \mu \bar{\mu} \end{eqnarray}$ nicht gilt, dass heißt es gilt Gleichheit. Nun berechne mal $\begin{eqnarray} T(0) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} T(\bar{\lambda}-\mu) \end{eqnarray}$
16.01.2012, 20:31	Steve94	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, $\begin{eqnarray} T(0) = \lambda \cdot 0 + \mu \cdot 0 = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} T(\bar{\lambda}-\mu) = \lambda (\bar{\lambda}-\mu)+\mu (\bar{\lambda}-\mu) \end{eqnarray}$ +einen Balken über dem zweiten $\begin{eqnarray} (\bar{\lambda}-\mu) \end{eqnarray}$ . Aufgelöst: $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow T(\bar{\lambda}-\mu) = (x+\mathrm{i}y)((x-\mathrm{i}y)-(a+\mathrm{i}b))+(a+\mathrm{i}b)((x+\mathrm{i}y)-(a-\mathrm{i}b)) \end{eqnarray}$ Ausmultipliziert und gekürzt ergibt sich: $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow T(\bar{\lambda}-\mu) = (x+\mathrm{i}y)(x-\mathrm{i}y)-(a-\mathrm{i}b)^2 = \lambda \bar{\lambda} - (\bar{\mu})^2 \end{eqnarray}$ Hoffe, dass das so richtig ist.

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