Randbedingungen für ein Teilchen im Würfel

15.01.2012, 21:04	Sol87	Auf diesen Beitrag antworten »
Randbedingungen für ein Teilchen im Würfel Meine Frage: Hi Leute, ich habe folgendes Problem, aber erstmal die Aufgabe: Gegeben ist die SG für die WF für ein freies Teilchen der Masse m : $\begin{eqnarray} -\frac{\hbar^{2} }{2m} \nabla^2 \Phi (x,y,z)=E\Phi(x,y,z) \end{eqnarray}$ Dabei ist E der noch zu bestimmende Energieeigenwert. Das Teilchen sei in einem Würfel mit der Kantenlänge a, der mit einer Ecke im Nullpunkt sitzt, eingesperrt. Daher verschwindet die Wellenfunktion auf der Ober fläche des Würfels. a) Formulieren Sie die Randbedingungen für die 6 Würfel flächen. b) Separieren Sie in kartesischen Koordinaten und lösen Sie die entsprechenden gewöhnlichen DGL und passen Sie diese Lösungen an die Randbedingungen an. Soo, die b) ist an und für sich nicht tragisch, ich setze an : $\begin{eqnarray} \Phi(x,y,z)=X(x)Y(y)Z(z) \end{eqnarray}$ Eingesetzt in die DGL ergibt das dann mit $\begin{eqnarray} k^{2}:=-\frac{2mE}{\hbar^2} \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} \Rightarrow \frac{X''}{X}+\frac{Y''}{Y}+\frac{Z''}{Z} +k^{2} =0 \end{eqnarray}$ Damit erhalte ich für die Bewegungsgleichungen: $\begin{eqnarray} X''+k_{1}^2X=0 \\ Y''+k_{2}^2Y=0 \\ Z''+k_{3}^2Z=0 \end{eqnarray}$ Welche ja wieder recht einfache Lösungen haben: $\begin{eqnarray} X(x)=a_1e^{ik_1x}+a_2e^{-ik_1x} \end{eqnarray}$ analog für die beiden anderen Funktionen. Mein Problem liegt nun bei der a), ich weiß nun nicht, wie ich die Randbedingungen für Flächen ansetzen soll. Meine Ideen:* Meine Idee war anfangs, einfach die Eckpunkte des Würfels als Randwerte zu nehmen, also: $\begin{eqnarray} \Phi(0,0,0)=\Phi(a,0,0)=....=0 \end{eqnarray}$ dabei bekomm ich aber für alle Koeffizienten 0 raus, was hier nicht wirklich Sinn machen würde - ja, es ist ne Lösung, aber auch irgendwo lächerlich Im Skript haben wir was von Dirlichet-Randproblemen aufgeführt, aber da heißt es dann im Grunde nur $\begin{eqnarray} \Phi(x,y,z)=0 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} (x,y,z)\in \delta D \end{eqnarray}$ Aber wie führ ich hier dieses Randgebiet $\begin{eqnarray} \delta D \end{eqnarray}$ mathematisch ein? Muss ich die Flächen irgendwie parametriesieren? Wär super, wenn ihr mir weiterhelfen könntet
15.01.2012, 21:29	schultz	Auf diesen Beitrag antworten »
ich würde die 3 dimensionen einzeln betrachten, und da hast du dann jeweils die randbedingungen x(a)=y(a)=z(a)=0, sowie x(0)=y(0)=z(0)=0. so dürfte das funktionieren soweit ich weiß...
15.01.2012, 21:33	Sol87	Auf diesen Beitrag antworten »
Schon probiert, wieder alle Koeffizienten 0
18.01.2012, 06:08	schultz	Auf diesen Beitrag antworten »
das glaube ich nicht...dann zeig mal deinen rechenweg für zB die x-richtung
18.01.2012, 09:47	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Aufgabe behandelt doch nichts anderes als das bekannte Problem des "Teilchens im unendlich hohen Potentialtopf" (hier 3-dimensional). An den Grenzen verschwindet die Lösung, weil das Teilchen nicht durch die Wand gehen kann. In x-Richtung haben wir also $\begin{eqnarray} X''_n+\tfrac{2mE_n}{\hbar^2}X_n=0 \end{eqnarray}$ , Randbedingung $\begin{eqnarray} X(0)=X(a)=0 \end{eqnarray}$ Hierbei ist a die Würfellänge. Aufgrund dieser Randbedingung kann man sofort sagen, dass die Eigenfunktionen nur Sinusfunktionen $\begin{eqnarray} X_n(x)=C_n\cdot sin \left ( \tfrac{\sqrt{2mE_n}}{\hbar}x\right ) \end{eqnarray}$ sein dürfen, da nur diese am Rand verschwinden. Da am Rande gelten muss $\begin{eqnarray} X(a)=0 \end{eqnarray}$ , folgt $\begin{eqnarray} E_n=\tfrac{\hbar^2 \pi^2n^2}{2ma^2} \end{eqnarray}$ , wobei n=1,2,3... natürliche Zahlen sind. Die Konstanten Cn bekommst du wie üblich durch Normierung auf 1. Für die y-z-Richtungen ist die Rechnung identisch. Die Eigenwerte des 3-dimensionalen Problems besteht aus der Summe aller Kombinationen der Eigenwerte der drei 1-dimesnionalen Probleme, also $\begin{eqnarray} E_{hij}=E_h+E_i+E_j \end{eqnarray}$ . Die Eigenfunktionen sind dagegen die Produkte der einzelnen Eigenfunktionen.

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