topologie metrischer kompakter raum

15.01.2012, 21:10

grunzy5

topologie metrischer kompakter raum

hiho,

sitz hier gerade an einer Aufgabe und habe auch eine Lösung.

Sei $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ein kompakter metrischer Raum und $\begin{eqnarray*} f:X \rightarrow X \end{eqnarray*}$ eine abstandserhaltende Funktion , d.h. $\begin{eqnarray*} d(x,y)=d(f(x),f(y)) \end{eqnarray*}$ .
Man beweise, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ surjektiv ist.

Annahme : $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ nicht surjektiv

Dann gibt es ein $\begin{eqnarray*} y \in X \end{eqnarray*}$ für das es kein $\begin{eqnarray*} x \in X \end{eqnarray*}$ gibt mit $\begin{eqnarray*} f(x)=y \end{eqnarray*}$ .

Da $\begin{eqnarray*} f:X \rightarrow X \end{eqnarray*}$ gibt es somit $\begin{eqnarray*} b \neq c \in X \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(b)=f(c)=a \in f(X) \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ abstandserhaltende Abb,

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow 0 \neq d(b,c)=d(f(b),f(c))=d(a,a)=0 \end{eqnarray*}$

Widerspruch

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow f \end{eqnarray*}$ surjektiv

Ist der Beweis so richtig? Wenn ja, wo fließt denn hier die Kompaktheit ein?
Danke smile

15.01.2012, 23:25

Abakus

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RE: topologie metrischer kompakter raum

Zitat:

Original von grunzy5
Da $\begin{eqnarray*} f:X \rightarrow X \end{eqnarray*}$ gibt es somit $\begin{eqnarray*} b \neq c \in X \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(b)=f(c)=a \in f(X) \end{eqnarray*}$

Hallo, da hängt es. Über die Injektivität ist nichts ausgesagt.

Abakus smile

15.01.2012, 23:33

grunzy5

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RE: topologie metrischer kompakter raum
hallo abakus,

danke für deine Antwort.

Das stimmt wohl .. hm.

$\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist ja eig offensichtlich injektiv imho, denn wenn $\begin{eqnarray*} f(x)=f(y) \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} d(f(x),f(y))=0 \end{eqnarray*}$ und damit auch $\begin{eqnarray*} d(x,y)=0 \end{eqnarray*}$ woraus folgt ,dass $\begin{eqnarray*} x=y \end{eqnarray*}$ .

Dann ist mein Beweis wohl Schrott.

Danke schön

16.01.2012, 00:29

Ungewiss

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Sei f nicht surjektiv, d.h. es gibt y mit $\begin{eqnarray*} f(x)\neq y \ \forall x\in X \end{eqnarray*}$ , damit auch $\begin{eqnarray*} f(y)\neq y \end{eqnarray*}$ .

Definiere Folge $\begin{eqnarray*} y_0=y,\ y_n=f(y_{n-1})\quad n\geq 1 \end{eqnarray*}$ , weil K Kompakt und metrisch sei (y_n) ohne Einschränkung konvergent, d.h eine Cauchfolge, dies kann aber nicht sein, da $\begin{eqnarray*} 0<d(f(y),y)=d(y_n,y_{n-1}) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$

Edit: das funktioniert wohl doch nicht so einfach.

16.01.2012, 01:17

Abakus

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RE: topologie metrischer kompakter raum

Zitat:

Original von grunzy5
$\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist ja eig offensichtlich injektiv imho, ...

Ja, das stimmt auch, war mir aber in dem Moment nicht richtig bewusst.

Abakus smile

16.01.2012, 10:22

grunzy5

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Zitat:

Original von Ungewiss
Sei f nicht surjektiv, d.h. es gibt y mit $\begin{eqnarray*} f(x)\neq y \ \forall x\in X \end{eqnarray*}$ , damit auch $\begin{eqnarray*} f(y)\neq y \end{eqnarray*}$ .

Definiere Folge $\begin{eqnarray*} y_0=y,\ y_n=f(y_{n-1})\quad n\geq 1 \end{eqnarray*}$ , weil K Kompakt und metrisch sei (y_n) ohne Einschränkung konvergent, d.h eine Cauchfolge, dies kann aber nicht sein, da $\begin{eqnarray*} 0<d(f(y),y)=d(y_n,y_{n-1}) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$

moin,

danke euch beiden.

Zu dem Zitat hab ich aber noch eine Frage.

Wieso kann man einfach sagen, dass (y_n) ohne Einschränkung konvergent ist, wenn man die Folge so definiert wie du es tust?
Man weiß doch eig nur das jeden unendliche Folge eine konvergente Teilfolge besitzt.
Kannst du das vlt nochmal erklären ?
Danke schön

16.01.2012, 11:16

Ungewiss

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Hmm, okay da war ich wohl was voreilig, zumindest sehe ich nicht wie ich diese Frage beantworten könnte ? Vielleicht kann dir noch ein anderer helfen.

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topologie metrischer kompakter raum

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