Wahrscheinlichkeitsrechung: Kuchen mit Rosinen

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Anon674 Auf diesen Beitrag antworten »
Wahrscheinlichkeitsrechung: Kuchen mit Rosinen
Meine Frage:
Hallo

Wir haben eine Rätselfrage von unserem Prof. bekommen und sollen diese wenn möglich lösen. Es geht um einen Kuchen (größe egal) mit Rosinen.

Dieser wird auf 14 Teile aufgeteilt und in jedem Teil soll mindestens eine Rosine mit 99% Wahrscheinlichkeit sein. Die Frage lautet: Wie viele Rosinen in diesen Kuchen müssen damit diese Bedingung erfüllt ist.

Wie löse ich solch eine Aufgabe?

Meine Ideen:
Ich dachte, dass man das evt. mit der Poisson Verteilungsformel lösen könnte, allerdings kann ich das u nicht herrausheben....
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

ein wenig Vorarbeit hätte nicht schaden können.
Betrachten wir X=Anzahl der gefundenen Rosinen und n die GesamtRosinenanzahl.



nach Poisson gilt

Nun soll aber gerade b(0)=0.01 sein = genau keine Rosine im Kuchenstück.

Damit müsste n zu berechnen sein.
 
 
Anon6743 Auf diesen Beitrag antworten »

jop, dass dachte ich mir so, nun kapierte ich aba nicht wie ich bei der Formel das Lamba rausheben soll aus dem e und dem faktor davor?!
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

es steht und . Also



Preisfrage 1: welchen Wert hat

Preisfrage 2: welchen Wert hat
Black Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry wenn ich mich einmische, aber es ist hier nicht so geschickt die Poisson-Verteilung zu verwenden.
Bei der Poisson-Verteilung ist die Anzahl der Erfolge a priori unbeschränkt, man kann sie natürlich als Approximation der Binomialverteilung nutzen, aber hier spricht nichts dagegen dass man direkt die Binomialverteilung verwendet und somit ein exakteres Ergebnis erhält.
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin nicht so der Freund von exakten Werten bei der Wkt-Rechnung.
Und wenn der Kunde Poisson will...


Da es sinnigerweise um nicht genau 0 Rosinen geht, geht es sogar ohne Summen und Binomialkoeffizienten ...

Der Unterschied liegt bei ca. 2 Rosinen bei insgesamt etwa 50 bis 80 Rosinen.

Ist aber nicht grösser 1, ist die Genauigkeit ausreichend.

---------------
Mal sehen was der Fragesteller meint.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dopap
Ich bin nicht so der Freund von exakten Werten bei der Wkt-Rechnung.
Und wenn der Kunde Poisson will...

Das halte ich nicht für die richtige Einstellung, wenn jemand als Helfer agieren will. In der Mathematik geht es primär immer um Exaktheit. Näherungen kommen in Frage, wenn es keine exakte Lösung gibt oder deren Aufwand unverhältmäßig hoch ist. Wie schon Black bemerkte, gibt es hier für die Poisson-Verteilung als Näherung nicht den geringsten Grund.
Von Seiten des Fragestellers war die Poisson-Verteilung nur eine Idee, aber nichts, was er definiert wollte. Und selbst wenn er es definitiv gewollt hätte. sollte man ihm sagen, ob das vernüftig ist.

Zitat:
Original von DopapDa es sinnigerweise um nicht genau 0 Rosinen geht, ...

Diese ominöse Bemerkung verstehe ich nicht.

Zitat:
Original von DopapIst aber nicht grösser 1, ist die Genauigkeit ausreichend.

Hier ist aber .


Das Rosinenproblem ist im Board schon mehrfach behandelt worden, z. B. hier:
Abwandlung des Rosinenproblems (Kugel-Fächer-Modell)
Die exakte Lösung benutzt die Siebformel. Bei den oben genannten Zahlen ist die dort auch aufgeführte Näherung ausreichend.
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

man kann das ja auch z.B. mit 500 Rosinen für 500 Brötchen machen.

hier ist . Die Auswertung der Binomialkoeffizienten war früher ein Problem.
p Für 2 bis 4 Rosinen je Brötchen ( Binomial )=0.260627 exakte Rechnung
p Für 2 bis 4 Rosinen je Brötchen ( Poisson )=0.260581

hier besteht doch kein Bedarf mehr an der exakten Lösung.

Nicht-Freund von exakten Werten ist so zu verstehen, dass übertriebene Genauigkeit in den Angaben evtl. das Gefühl vermitteln, die Sache im Griff zu haben.

in obigem Beispiel ist 26% oder gar Ein Viertel ausreichend zur Beurteilung der Lage.
Und die nimmt der Mensch vor. So ist das gemeint.

Über die Art und die Bewertung meiner Einstellung brauchst du mich nicht zu belehren.
Black Auf diesen Beitrag antworten »

Natürlich wird die Approximation für große n besser, aber davon ist man hier weit entfernt.

Und generell gilt dass man nicht einfach mit Approximationen rechnen darf, wenn es nicht explizit in der Aufgabe gestattet wird (außer natürlich die Approximation ist praktisch identisch, aber das ist hier bei weitem nicht so).
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Ich stehe auch klar auf der Seite von Huggy:

Wenn man die genaue Verteilung kennt, und diese auch nicht schwierig zu berechnen ist, dann gibt es keinen vernünftigen Grund, auf eine Approximation auszuweichen. Den meist unüberlegt vorgetragenen Vorwurf, in der Stochastik gehe es "sowieso nicht so genau" zu, muss man ja nicht noch durch eigene Taten in der Richtung befeuern. Augenzwinkern


Zitat:
Original von Dopap
Nicht-Freund von exakten Werten ist so zu verstehen, dass übertriebene Genauigkeit in den Angaben evtl. das Gefühl vermitteln, die Sache im Griff zu haben.

Im Rahmen des Modells (maßgeblich: Unabhängigkeit der Verteilung jeder einzelnen Rosine auf die einzelnen Teile) hat man die Sache hier aber im Griff! smile

Runden kann man immer noch beim Endergebnis, um die von dir genannte "übertriebene Genauigkeit" zu vermeiden. Das ist was anders, als ohne Not schon bewusst ungenau bei Zwischenergebnissen zu rechnen.
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

ja Rene´ du hast ja recht - und alle Anderen auch.

Nur, nach einigen Tausend Privatstunden bin ich der Meinung, dass Psychologie eine wichtige Rolle spielt. Den ersten Ansatz erst mal stehen lassen- das motiviert (sofern halbwegs vertretbar ) Hinterher kann man dann immer noch die Frage der Ungenauigkeit anschneiden um das Ergebnis zu verbessern.
Ein Lernziel könnte dabei sein, die Grenzen der Gültigkeit der Ansätze zu überlegen...

Aber soweit ist es ja erst gar nicht gekommen unglücklich

Mathematik zu vermitteln ist eben eine Gradwanderung Augenzwinkern
Anon67431 Auf diesen Beitrag antworten »

danke, mit den weitern tipps hab ichs lösen könne smile
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