Integration bei DFG

15.01.2012, 22:18	epidrom	Auf diesen Beitrag antworten »
Integration bei DFG Hi, lange nichts mehr von mir hören lassen :-) Es wird also mal wieder Zeit Leute! Und auf geht's: Nach Auflösen der DFG nach $\begin{eqnarray} \frac{dy}{dx} \end{eqnarray}$ komme ich auf folgende Funktion die es zu integrieren gilt: $\begin{eqnarray} \int \frac{1}{(x-1)(x+1)} dx \end{eqnarray}$ Nun hatte ich mir zuerst gedacht man könnte die beiden Klammern zusammenfassen und folglich: $\begin{eqnarray} x^{2}-1 \end{eqnarray}$ schreiben und sie anschließend zu $\begin{eqnarray} ln(x^{2}-1) \end{eqnarray}$ integrieren. Wolfram Alpha brachte mir aber ein ganz anderes Ergebnis und auch das Lösungsbuch besagt, dass man nun die Beziehung: $\begin{eqnarray} \frac{1}{(x-1)(x+1)} = (\frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+1}) \end{eqnarray}$ anwenden soll. Man muss den Nenner wegmultiplizieren und man kommt am Ende auf: $\begin{eqnarray} A = \frac{1}{2} , B = -\frac{1}{2} \end{eqnarray}$ Man kann nun schreiben(und die Konstante gleich vor das Integral schreiben): $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} \int \frac{1}{x-1} dx - \frac{1}{2} \int \frac{1}{x+1} dx \end{eqnarray}$ Ich kann nachvollziehen wie diese Rechenoperationen durchgeführt werden, jedoch verstehe ich nicht warum. Also wieso ich nicht einfach den ln hinschreiben kann. mfg epi
15.01.2012, 22:29	Mulder	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integration bei DFG Du weißt schon, dass du beim Ableiten von ln(x²-1) die Kettenregel benutzen müsstest? Da würde doch was komplett anderes rauskommen.
15.01.2012, 22:52	epidrom	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn ich die Funktion $\begin{eqnarray} ln(x^{2}-1) \end{eqnarray}$ ableite komme ich auf: $\begin{eqnarray} f'(x) = \frac{1}{x^{2}-1} 2x \end{eqnarray}$ Gemäß dem Gesetz $\begin{eqnarray} f(x) = ln(x) , f'(x) = \frac{1}{x} \cdot 1 \end{eqnarray}$ [EDIT]Ouu, moment ich verstehe, wenn man jetzt normal integrieren würde also praktisch $\begin{eqnarray} \frac {1}{x^{2}-1} \end{eqnarray*}$ schreiben würde, würde es zu einem Konflikt kommen á la hoch 0. Alles klar, stand wohl hart auf dem Schlauch. Und das Ableiten oben zeigt ja eigentlich schon dass etwas anders herauskommt

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