Definition und Erklärung Quotientenvektorraum, Äquivalenzrelation ? |
| 14.01.2007, 17:08 | SilverBullet | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Definition und Erklärung Quotientenvektorraum, Äquivalenzrelation ? Es wäre echt meganett von euch wenn sich jemand ein paar Minuten Zeit nimmt und meinen Text komplett durchliest, da es mir sehr sehr wichtig ist. Bald steht ja auch die erste Klausur an 
Also ich steige da einfach nicht durch. Ich weiß wie eine Äquivalenzrelation definiert ist : Gilt für eine beliebige Relation Reflexivität,Symmetrie und Transitivität so nenn man diese Relation eine Äquivalenzrelation. Was ist nun eine Quotientenvektorraum ? Ist doch erstmal gleichbedeutend mit affiner Unterraum oder ? (Affiner Raum hatten wir nicht) Nun laut Definition gilt : Sei V ein K-VR und U ein Unterraum Ein affiner Unterraum A ist nun eine Teilmenge A c V für die gilt : a aus V Das bedeutet also ich nehme mir ein Vektor a, welcher aus V kommt. Dann verschiebe ich alle Vektoren aus meinem Unterraum U damit ! Der so entstandene Raum nennt sich affiner Unterraum bzw Quotientenvektorraum. Es kann ja auch sein das mein a aus V auch in U liegt dann folgt daraus, dass in meinem affinen UR der Nullvektor enthalten ist. Wenn a nicht auch in U liegt so liegt damit der Nullvektor nicht in meinem Affinen Unterraum. Erstmal das dann den Rest 
Gruß Marc |
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| 14.01.2007, 23:43 | SilverBullet | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wenn es bis dahin alles stimmen sollte, könnt ihr das auch schreiben
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| 15.01.2007, 19:55 | SilverBullet | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Noch jemand im Board am leben ? Hallo ? |
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| 15.01.2007, 21:10 | Xvl | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Vorsicht! Quotientenvektorraum und affiner Unterraum sind nicht das gleiche. Ein affiner Unterraum ist, wie du schon richtig sagtes die Translation eines linearen Unterraumes durch einen Vektor a aus U. Ein Quotientenvektorraum V/U ist die Menge aller affinen Unterräume über einem gewissen linearem Unterraum U. Somit entsteht auch die surjektive Abbildung f: V ----> V/U mit a (aus V) |---> a + U mit kef f = U. Gruß dit Xvl PS: Hoff mal, dass jetzt nich zuviel Ungenauigkeiten drin sind, habs auch grad erst gehabt. |
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| 15.01.2007, 21:26 | SilverBullet | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Da bin ich mir nicht so sicher ob das stimmt was du geschrieben hast. Ist ein ein affiner UR dann ist dieser definiert durch : Sei V K-VR, U c V A:= {a+U} mit a aus V Ich hoffe hier kommt noch jmd in den Threat
Auf dieses Problem bin ich ja auch eingegangen und habe eine Antwort erhofft :
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| 15.01.2007, 21:33 | Xvl | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hast natürlich Recht... es muss a aus V heißen. Hatte mich verschrieben. Falls a aus U folgt in der Tat, dass 0 in A denn: a aus U -> -a aus U -> a+(-a)=0 aus U. |
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| 15.01.2007, 21:56 | SilverBullet | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Und wie ist das nun wenn man von einer Äquivalenzklasse [a] spricht dann ist [a] gleichbedeutent mit a+U also dem affinen Unterraum ? Und was heißt folgendes
Wie soll ich mir das vorstellen ? Wie sieht denn aus ? |
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| 15.01.2007, 23:17 | Xvl | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Für affine Unterräume betrachtet man die Relation a~b <=> a-b in U. Die Äquivalenzklasse dazu wäre also [a]={b | a-b in U}. Hat nun b die Gestalt a+u mit u aus U so ist a-b=a-(a+u)=-u aus U. Somit liegen also alle b in [a], die sich als ein a+u mit u aus U schreiben lassen. Anders ausgedrückt: alle a+U liegen in [a]. Das ist aber gerade der affine Unterraum. Was du dort zitiert hast fasse ich als den Quotientenvektorraum auf (vorausgesetzt man wählt ~ wie oben). Mit obiger Relation beschreibt M/~ also die affinen Unterräume in M (vorausgesetzt M ist ein K-VR). Das wurde dort nur alles etwas allgemeiner formuliert. |
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| 15.01.2007, 23:42 | SilverBullet | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hmm also ich probier es mal : Ich habe wie oben meine Äquivalenzklasse [a] in dieser sind quasi alle a + U enthalten. Wenn ich jetzt einfach mal sage es gibt noch ein b mit b+U und dieses liegt nicht in der Äquivalenzklasse [a] sondern hat seine eigene Klasse [b] dann drücke ich durch quasi alle Äquivalenzklassen bezüglich der Relation aus ? Und dies wird als der Quotientenvektorraum bezeichnet ? Gruß Marc |
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| 16.01.2007, 00:07 | Xvl | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also: Wir haben unsere Menge M und unsere Äquivalenzrelation ~ mit: a~b <=> a-b in U mit: U ist Teilmenge von M. Wir können nun auch eine Äquivalenzklasse [a] wie oben angeben. Spezialisieren wir das ganze: Sei M ein K-Vektorraum und U ein linearer Unterraum von M. Somit wäre a ein Vektor aus M. Die Äquivalenzklasse [a] beschreibt nun in diesem speziellen Fall mit obiger Relation einen affinen Unterraum, nämlich a+U. Nimmst du jetzt noch ein b Element von V, und untersuchst [b], können zwei Fälle eintreten: 1. b liegt in [a], also ist a-b in U also gilt a~b. Somit beschreiben dann die Äquivalenzklassen [a] und [b] ein und denselben affinen Unterraum (das erklärt dann auch das a~b <=> [a]=[b] auf der nächsten Seite). 2. b liegt nicht in [a], also spannt b einen neuen affinen Unterraum [b] auf, der bildlich gesprochen zu [a] parallel liegt (denn beide Räume basieren auf dem gleichen linearen Unterraum U) M/~ drückt letztlich alle möglichen Äquivalenzklassen aus. Du nimmst dir ein Element e aus M und konstruierst über ~ dann die Äquivalenzklasse [e]. Da e beliebig sein kann, beschreibt M/~ also die Menge aller Äquivalenzklassen mit der Relation ~. Auf den Spezialfall angewendet (M ist Vektorraum) heißt das letztlich nichts anderes als: M/~ beschreibt die Menge aller affinen Unterräume in M. |
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| 16.01.2007, 00:13 | SilverBullet | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Japp genau das habe ich probiert auszuformulieren
Dank dir für deine Mühe ! Gruß Marc |
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| 21.09.2010, 16:52 | patrick88 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Danke für den Beitrag! Der hat gerade einen Knopf in meinem Hirn gelöst 
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