Richtigkeit der Gleichung - Winkelfunktionen

16.01.2012, 12:18

Dome91

Richtigkeit der Gleichung - Winkelfunktionen

Hi,

ich habe hier eine Aufgabe bei der ich es irgendwie nicht hinkriege richtig zu kürzen verwirrt

Ich soll die Richtigkeit folgender Beziehungen zeigen:

$\begin{eqnarray*} tanh(\frac{z}{2}) = \frac{sinh(z)}{cosh(z)+1} \end{eqnarray*}$

Für tanh(z/2) habe ich

$\begin{eqnarray*} tanh(\frac{z}{2})= \frac{e^{z}-1 }{e^{z}+1 } \end{eqnarray*}$

und für den zweiten Teil der Gleichung habe ich

$\begin{eqnarray*} \frac{sinh(z)}{cosh(z)+1}= \frac{e^{z} -e^{-z} }{(e^{z} +e^{-z} )^2} \end{eqnarray*}$

Hat jmd eine Idee wie es weitergeht?

16.01.2012, 13:09

René Gruber

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Zitat:

Original von Dome91
und für den zweiten Teil der Gleichung habe ich

$\begin{eqnarray*} \frac{sinh(z)}{cosh(z)+1}= \frac{e^{z} -e^{-z} }{(e^{z} +e^{-z} )^2} \end{eqnarray*}$

Wie kommst du denn darauf (insbesondere den Nenner) ? Das dürfte falsch sein.

16.01.2012, 13:27

Dome91

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$\begin{eqnarray*} \frac{e^{z} -e^{-z} }{e^{z} +e^{-z}+2 } \end{eqnarray*}$

so ist es glaub ich besser Big Laugh

und als Tipp hatte ich die binomischen Formeln bekommen.

Da hatte ich dann an sowas gedacht:

$\begin{eqnarray*} \frac{e^{z} -e^{-z} }{(e^{0,5z} +e^{-0,5z})^2 } \end{eqnarray*}$

Bis dahin müsste es jetzt richtig sein...

16.01.2012, 13:30

Dome91

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jetzt aber Big Laugh

16.01.2012, 13:42

René Gruber

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Ja, jetzt stimmt's. Erweitere doch mal Zähler und Nenner mit $\begin{eqnarray*} e^z \end{eqnarray*}$ , dann ist die Gleichheit zu dem anderen Term $\begin{eqnarray*} \frac{e^z-1}{e^z+1} \end{eqnarray*}$ schon fast zu sehen.

16.01.2012, 14:27

Dome91

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Hab dann das hier:

$\begin{eqnarray*} \frac{e^{2z} -1}{(e^{z}+1)^2 } \end{eqnarray*}$

Ich könnte jetzt noch die Klammer im Nenner auflösen aber kürzen...??