Kern(f) und lineare Unabhängigkeit

16.01.2012, 15:58

sbgstud

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Kern(f) und lineare Unabhängigkeit

hallo Leute,
ich hab hier eine Aufgabe bei der ich einfach keinen Ansatz finde der mich auch zu was führt. Hier mal die Aufgabenstellung:

Seien V,W Vektorräume über einem Körper K und f:V->W eine lineare Abbildung.
Beweisen sie dass folgende Aussagen äquivalent sind:

1) Kern(f)=0
2) Für jede linear unabhängige Teilmenge B $\begin{eqnarray*} \subset \end{eqnarray*}$ V ist f(B) linear unabhängig

Ich weiß ja dass Kern(f)=0 <=> f ist injektiv gilt ... aber inwiefern bringt mich das hier weiter? Und vor allem: gilt die Aussage 2 nicht unabhängig vom Kern?

16.01.2012, 16:08

tmo

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Nein, die 2te Aussagen hat klarerweise was mit dem Kern zu tun.

Ist z.b. $\begin{eqnarray*} f = 0 \end{eqnarray*}$ , so ist $\begin{eqnarray*} f(B) = \{0\} \end{eqnarray*}$ immer linear abhängig, egal wie B ist.

Das gibt uns auch direkt schon einen Ansatz für die Rückrichtung:

Betrachte $\begin{eqnarray*} B = \{v\} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} v \neq 0 \end{eqnarray*}$

16.01.2012, 16:42

sbgstud

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ich denk mir das so:

$\begin{eqnarray*} B={v_{1},...,v_{n}} \end{eqnarray*}$
und B soll linear unabhängig sein also

$\begin{eqnarray*} a_{1}v_{1}+...+a_{n}v_{n} = 0 \end{eqnarray*}$ mit a=0 für alle a, da lin. unabhängig

allgemein gilt f(0)=0 also muss gelten

$\begin{eqnarray*} f(a_{1}v_{1}+...+a_{n}v_{n})=0 \end{eqnarray*}$

da kann ich die eigenschaft der linearen Abbildung benutzen und dann sagen dass
$\begin{eqnarray*} a_{1}f(v_{1})+...+a_{n}f(v_{n})=0 \end{eqnarray*}$ und damit f(B) linear unabhängig is weil alle a ja =0 sind

irgendwas muss da falsch sein weil der Kern da bisher ja eigtl keine Rolle spielt

[/latex]

16.01.2012, 16:53

tmo

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Du zeigst da nirgends, dass $\begin{eqnarray*} a_1f(v_1)+ \dotsb + a_nf(v_n)=0 \end{eqnarray*}$ wirklich nur die triviale Lösung hat. Deshalb ist der Beweis falsch.

16.01.2012, 16:53

sbgstud

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aaaaah....kann ich dann argumentieren dass der Kern von f
alle werte sind die mir 0 liefern und damit $\begin{eqnarray*} {a_{1}v_{1}+...+a_{n}v_{n}}=Kern(f)=0 \end{eqnarray*}$

geht das ?

dann brauch ich auch die letzte zeile nichtmehr

16.01.2012, 16:56

tmo

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Ja so geht es letztendlich (bei der Hinrichtung)

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16.01.2012, 17:07

sbgstud

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okay

bei der anderen richtung denk ich mir das so:

wenn ich Elemente v $\begin{eqnarray*} /in \end{eqnarray*}$ Kern(f) habe dann sind für alle $\begin{eqnarray*} v_{i} f(v_{i})=0 \end{eqnarray*}$

ich kann also auf jeden fall bilden: $\begin{eqnarray*} a_{1}f(v_{1})+...+a_{n}f(v_{n})=0 \end{eqnarray*}$
und dann die Eigenschaft der linearen Abbildung wieder benutzen

$\begin{eqnarray*} f(a_{1}v_{1}+...+a_{n}v_{n})=0 \end{eqnarray*}$

dann wieder mit dem Argument von vorher sagen dass dann

$\begin{eqnarray*} {a_{1}v_{1}+...+a_{n}v_{n}} = Kern(f) \end{eqnarray*}$
und da aber alle v nicht zwingend 0 sein müssen müssen alle a 0 sein und damit wäre dann wieder lin.unabhängigkeit erreicht....

16.01.2012, 17:19

tmo

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Und was hat das mit der Rückrichtung zu tun? verwirrt

verwirrt

16.01.2012, 17:22

sbgstud

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ja praktisch dass aus Kern(f)=0 folgt dass ...... oh...ja irgendwie fehlt da der zusammenhang stimmt

dann hab ich jez spontan keine idee

16.01.2012, 17:24

tmo

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Bei der Rückrichtung sollst du doch aus der Aussage 2) die Aussage 1) folgern.

d.h. am Ende vom Beweis muss stehen, dass der Kern nur die 0 enthält.

Ich habe doch in meinem ersten Post schon den Tipp dazu gegeben.

16.01.2012, 17:36

sbgstud

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hmm...

wenn v element des kern ist uns ungleich 0 ist und f(B) lin unabhängig is dann heißt das ich komm wieder auf die form

$\begin{eqnarray*} f(a_{1}v_{1}+...+a_{n}v_{n})=0 \end{eqnarray*}$

und dann muss der teil in der klammer den kern darstellen....und der ausdruck ist eben immer 0 und damit ist nur die 0 im kern

16.01.2012, 17:42

tmo

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Ich weiß nicht wo du die ganzen $\begin{eqnarray*} v_i' \end{eqnarray*}$ s hernimmst, ich habe doch vorgeschlagen eine einelementige Menge $\begin{eqnarray*} B := \{v\} \end{eqnarray*}$ zu nehmen.

Ist diese Menge linear unabhängig?

Was folgt also für $\begin{eqnarray*} f(B) \end{eqnarray*}$ ? Denk dran, dass du die Aussage 2) nun benutzen darfst.

16.01.2012, 17:50

sbgstud

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einelementige mengen sind immer lin. unabhängig....
ja wenn B nur aus v besteht dann ist f(B)=f(v)
jez bin ich iwie verwirrt

16.01.2012, 17:54

tmo

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Zitat:

Original von sbgstud
einelementige mengen sind immer lin. unabhängig....

...Außer sie enthält die 0. Aber ich habe ja gesagt v soll nicht 0 sein.

Jetzt benutze doch konsequent mal die Aussage 2).

B ist linear unabhängig. Also ist f(B) linear ...

16.01.2012, 17:58

sbgstud

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ich versteh nur nicht was mir das bringt um zu begründen dass nur die 0 im kern ist

16.01.2012, 18:00

tmo

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Das wirst du rechtzeitig erkennen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Also was ist jetzt mit f(B)? linear abhängig oder linear unabhängig?

16.01.2012, 18:03

sbgstud

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unabhängig...so stehts in 2 drin wenn B unabhängig ist

16.01.2012, 18:05

tmo

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Ja also. Die Menge $\begin{eqnarray*} f(B) = \{f(v) \} \end{eqnarray*}$ ist also lin. unabhängig. Was ist nun mit einer Menge los, die unabhängig ist. Liegt die 0 drin? Kann also $\begin{eqnarray*} f(v)=0 \end{eqnarray*}$ sein?

16.01.2012, 18:07

sbgstud

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ja wieso nicht...wenn v im kern ist...aber deswegen kann v ja trotzdem ungleich 0 sein

16.01.2012, 18:11

tmo

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f(B) ist doch linear unabhängig. Eine Menge, die die 0 enthält ist jedoch immer linear abhängig.

16.01.2012, 18:17

sbgstud

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dann darf die 0 nicht in der menge sein

16.01.2012, 18:25

tmo

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Was ist also mit f(v) los? Kann das 0 sein?

16.01.2012, 18:26

sbgstud

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heißt das f(v) ist nie 0 wenn v ungleich 0 ist und dass dann v null sein muss wenn f(v)=0 ist?

16.01.2012, 18:27

tmo

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Genau. Und das ist ja genau das was wir zeigen wollten.

16.01.2012, 18:31

sbgstud

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das war jez ne schwere geburt

danke für deine hilfe....ich hab mich aber schon ziemlich blöd angestellt Big Laugh

Big Laugh

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