Differenzialgleichung r(A-y)(B-y)

16.01.2012, 17:00

mandelbrot40

Differenzialgleichung r(A-y)(B-y)

Ich versuche im Moment folgende Differentialgleichung zu lösen - hier mein Ansatz:

Angabe:

$\begin{eqnarray*} y^{'} = 4y(1-y) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y^{'} = -4(0-y)(1-y) = -4(y-0)(y-1) \end{eqnarray*}$ //umformen

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{1}{(y-0)(y-1)} \, dy = -\int \! 4 \, dx \end{eqnarray*}$

Ich löse jetzt das Integral mit folgendem Weg:

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{1}{(x-a)(x-b)} \, dx \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} (a\neq b) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{b-a} * ln| \frac{x-b}{x-a} | + C \end{eqnarray*}$

Sehe ich es richtig dass es egal ist ob ich jetzt für
a=0 und für b=1 bzw für a=1 und für b=0 nehme ?

Denn dadurch ergeben sich 2 verschiedene Ergebnisse:

Ergebniss 1 für (a=0 und b=1):

$\begin{eqnarray*} y(x) = \frac{1}{1-Ce^{-4x}} \end{eqnarray*}$

Ergebniss 2 für (a=1 und b=0):

$\begin{eqnarray*} y(x) = \frac{-Ce^{4x}}{1-Ce^{4x}} \end{eqnarray*}$

Ich habe mit Ergebniss 1 berechnet und als Lösung angegeben.
Am Lösungszettel steht jetzt aber nur Ergebniss 2 angegeben. Jetzt frage ich mich - habe ich es falsch verstanden/ gemacht oder fehlt am Lösungszettel einfach Rechenweg 1?

16.01.2012, 17:31

René Gruber

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Die Ergebnisse

$\begin{eqnarray*} y(x) = \frac{1}{1-C_1e^{-4x}} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} y(x) = \frac{-C_2e^{4x}}{1-C_2e^{4x}} \end{eqnarray*}$

sind über $\begin{eqnarray*} C_2 = -\frac{1}{C_1} \end{eqnarray*}$ verknüpft - zumindest im Fall $\begin{eqnarray*} C_1\neq 0 \end{eqnarray*}$ .

Der Fall $\begin{eqnarray*} C_1=0 \end{eqnarray*}$ liefert die Lösung $\begin{eqnarray*} y=1 \end{eqnarray*}$ , die fehlt in Fall 2. Aber ebenso liefert $\begin{eqnarray*} C_2=0 \end{eqnarray*}$ in der zweiten Darstellung die Lösung $\begin{eqnarray*} y=0 \end{eqnarray*}$ , die fehlt wiederum in Fall 1. Insofern sind beide Darstellungen (jede auf ihre Art) unvollständig. Augenzwinkern

16.01.2012, 17:56

mandelbrot40

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Zitat:

Original von René Gruber
Die Ergebnisse

$\begin{eqnarray*} y(x) = \frac{1}{1-C_1e^{-4x}} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} y(x) = \frac{-C_2e^{4x}}{1-C_2e^{4x}} \end{eqnarray*}$

sind über $\begin{eqnarray*} C_2 = -\frac{1}{C_1} \end{eqnarray*}$ verknüpft - zumindest im Fall $\begin{eqnarray*} C_1\neq 0 \end{eqnarray*}$ .

Der Fall $\begin{eqnarray*} C_1=0 \end{eqnarray*}$ liefert die Lösung $\begin{eqnarray*} y=1 \end{eqnarray*}$ , die fehlt in Fall 2. Aber ebenso liefert $\begin{eqnarray*} C_2=0 \end{eqnarray*}$ in der zweiten Darstellung die Lösung $\begin{eqnarray*} y=0 \end{eqnarray*}$ , die fehlt wiederum in Fall 1. Insofern sind beide Darstellungen (jede auf ihre Art) unvollständig. Augenzwinkern

Ok. Und was bedeutet dies nun konkret, dass keine der beiden Lösungen korrekt ist?

16.01.2012, 18:08

René Gruber

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Herrje, muss man denn alles haarklein erklären:

Beide von dir genannten Lösungsscharen sind identisch, wenn man mal die Parameterfälle C_1=0 und C_2=0 ausnimmt, sie sind auch alle Lösungen der DGL. Aber es fehlen eben die beiden konstanten Lösungen y=0 und y=1 der DGL, die werden (zumindest jeweils eine) nicht von dieser Darstellung erfasst.

Im übrigen: Einfache Umformungen (Logarithmus vom Kehrwert) liefern die Identität

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{b-a} \cdot \ln\left| \frac{x-b}{x-a} \right| = \frac{1}{b-a} \cdot \ln\left| \frac{1}{\frac{x-a}{x-b}} \right| = -\frac{1}{b-a} \cdot \ln\left| \frac{x-a}{x-b} \right| = \frac{1}{a-b} \cdot \ln\left| \frac{x-a}{x-b} \right| \end{eqnarray*}$ .

16.01.2012, 18:18

mandelbrot40

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Zitat:

Original von René Gruber
Herrje, muss man denn alles haarklein erklären:

Beide von dir genannten Lösungsscharen sind identisch, wenn man mal die Parameterfälle C_1=0 und C_2=0 ausnimmt, sie sind auch alle Lösungen der DGL. Aber es fehlen eben die beiden konstanten Lösungen y=0 und y=1 der DGL, die werden (zumindest jeweils eine) nicht von dieser Darstellung erfasst.

Vielen Dank für die Antwort!
Entschuldigung wenn ich dich verärgert habe Gott

- aber für mich ist dies sehr wesentlich und ich glaube du hast mich gerade darauf gebracht warum nur 1 Ergebnis in meinem Fall richtig ist.
Es handelt sich nämlich um ein Bsp der chemischen Reaktionskinetik. Möglicherweise kann ich deswegen nicht eine beliebige Lösung angeben!

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