Zufallspermutation und Erwartungswert

16.01.2012, 18:28

einGast

Zufallspermutation und Erwartungswert

Hallo,
ich habe eine Aufgabe, bei der ich nicht weiterkomme.

Bei einer Zufallspermutation (a1,...,an) der Zahlen 1,...,n sei Xi=1 wenn ai=i (Fixpunkt) und Xi=0 sonst, 1<=i<=n

Bestimmen Sie für 1<=i<=j<=n die Werte E(Xi)*E(Xj) und E(Xi*Xj).
Bestimmen Sie weiterhin die Cov(Xi,Xj), 1<=i<=j<=n und damit V(X) für X=x1+...+Xn

Könnt ihr mir weiterhelfen? Einen Lösungsansatz habe ich leider nicht.
Danke schon mal

17.01.2012, 07:07

einGast

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kann mir keiner helfen?

17.01.2012, 10:37

René Gruber

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Wie bei jeder 0-1-Zufallsgröße ist auch hier

$\begin{eqnarray*} E(X_i) = 0\cdot P(X_i=0) + 1\cdot P(X_i=1) = P(X_i=1) \end{eqnarray*}$ .

Das ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau an Stelle $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ ein Fixpunkt ist. Wie groß ist die? (Sag jetzt bloß nicht "Einen Lösungsansatz habe ich leider nicht." o.ä., das nehm ich dir nicht ab.)

17.01.2012, 12:50

einGast

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Vielen Dank für deine Antwort,
ja, du hast recht, der Ansatz war mir gekommen.

Also ich habe für E(Xi) = 1/n

P(Xi=1) = 1/n
P(Xi=0) = n-1/n

Mich irritiert ehrlich gesagt das j und der Erwartungswert von j.

j soll immer kleiner oder gleich i sein.
Das würde bedeuten, dass ich doch Abhängige Zufallsvariablen habe, oder?

Wie würde ich P(Xj=1) ausrechnen? Genau wie P(Xi=1)?

Danke
Sorry, dass ich irgendwie auf m Schlauch steh

17.01.2012, 13:33

René Gruber

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Zitat:

Original von einGast
Wie würde ich P(Xj=1) ausrechnen? Genau wie P(Xi=1)?

Ja, das macht keinen Unterschied.

Interessant wird es beim Produkt $\begin{eqnarray*} X_iX_j \end{eqnarray*}$ : Auch die ist eine 0-1-Zufallsgröße, so dass gilt

$\begin{eqnarray*} E(X_iX_j) = P(X_iX_j=1) = P(X_i=1 \,\wedge\, X_j=1) \end{eqnarray*}$ .

Im weiteren muss man die Fälle $\begin{eqnarray*} i=j \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} i\neq j \end{eqnarray*}$ unterscheiden:

Der Fall $\begin{eqnarray*} i=j \end{eqnarray*}$ ist leicht, denn dann kommt so wieder $\begin{eqnarray*} E(X_iX_j) = E(X_i^2) = \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ heraus.

Bleibt der Fall $\begin{eqnarray*} i\neq j \end{eqnarray*}$ : Hier muss man sich ein paar inhaltliche Gedanken über das Ereignis $\begin{eqnarray*} \{X_i=1 \,\wedge\, X_j=1\} \end{eqnarray*}$ machen...

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