Einfache Frage zu Funktionen

16.01.2012, 18:35

MrNobodyJr

Einfache Frage zu Funktionen

Hallo zusammen,

ich schreibe gerade an einer Ausarbeitung und möchte Funktionen formal einführen. Dazu habe ich mir ein Beispiel überlegt:
$\begin{eqnarray*} f(x) = -x \end{eqnarray*}$

Einmal betrachte ich die Funktionen mit folgender Definitions/Wertemenge $\begin{eqnarray*} f : \mathbb{R} -> \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ . Hier gibt es keine Probleme, den offenbar wird jedes Element eindeutig auf ein anderes abgebildet.

Wie sieht es aber mit $\begin{eqnarray*} f : \mathbb{N}^+ -> \mathbb{R}^+ \end{eqnarray*}$ . Ich argumentiere, dass es hier keine negativen Natürlichen Zahlen gibt. Jetzt bin ich bei Wikipedia auf die sogenannten "Empty Functions" gestoßen. Hier wird behauptet, dass eine solche Funktion ja doch existiert mit da $\begin{eqnarray*} \emptyset \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ .

Was haltet ihr davon? smile

Noch ein Frage. Macht es Sinn in meiner Ausarbeitung von den gleichen Funktionen f zu sprechen bzw. die Bezeichner f bei beiden Beispielen gleich zu behalten oder kann ich dem Leser zu trauen, dass er versteht das es in Wirklichkeit _andere_ Funktionen sind?

Grüße,
MrNobodyJr

16.01.2012, 18:38

MrNobodyJr

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Edit: Beim zweiten Beispiel sollte es $\begin{eqnarray*} f: \mathbb{N}^+ \rightarrow \mathbb{N}^+ \end{eqnarray*}$ heißen.

Grüße,
MrNobodyJr

16.01.2012, 20:02

juffo-wup

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RE: Einfache Frage zu Funktionen

Zitat:

Original von MrNobodyJr
Wie sieht es aber mit $\begin{eqnarray*} f : \mathbb{N}^+ -> \mathbb{R}^+ \end{eqnarray*}$ . Ich argumentiere, dass es hier keine negativen Natürlichen Zahlen gibt.

Welche Funktion? Zu einer Funktion gehört ja neben der Angabe von Definitions- und Wertebereich auch die Zuordung. $\begin{eqnarray*} x\mapsto -x \end{eqnarray*}$ ergibt hier z.B. keinen Sinn.

Zitat:

Jetzt bin ich bei Wikipedia auf die sogenannten "Empty Functions" gestoßen. Hier wird behauptet, dass eine solche Funktion ja doch existiert mit da $\begin{eqnarray*} \emptyset \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ .

Was meinst du mit "eine solche Funktion"? Die leere Funktion ist mehr eine Formalität ohne praktische Bedeutung.

Zitat:

Es ist normalerweise Konvention, dass gleich bezeichnete Dinge gleich sind. Daher würde ich empfehlen, unterschiedliche Namen zu nehmen. Außer vielleicht in verschiedenen Abschnitten oder wenn klar ist, dass jetzt ein anderes Thema kommt.

16.01.2012, 20:30

MrNobodyJr

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Ich will ja gerade darauf hinaus, dass die die Angabe von Definitions und Wertebereich bei der Funktionsdefinition eine wichtige Rolle spielt. Deswegen meine Frage ob die Funktion $\begin{eqnarray*} f: \mathbb{N}^+ \rightarrow \mathbb{N}^+ \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x) = -x \end{eqnarray*}$ die leere Funktion ist.

Grüße,
MrNobodyJr

16.01.2012, 20:31

juffo-wup

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Nein, das ist garkeine Funktion, sondern einfach keine sinnvolle Definition.

edit: Um das mit der leeren Funktion ein bisschen näher zu erläutern: Man kann eine Funktion $\begin{eqnarray*} f:A\to B \end{eqnarray*}$ mit A,B Mengen auffassen als Teilmenge der Menge $\begin{eqnarray*} A\times B \end{eqnarray*}$ nämlich als die Menge $\begin{eqnarray*} \{(a,b)\, |\, a\in A, b=f(a)\} \end{eqnarray*}$
So werden in der Mengenlehre für gewöhnlich Funktionen definiert. Sonst (außerhalb der Mengenlehre) nennt man diese Menge auch den Graphen der Funktion. Die leere Funktion (Graph ist die leere Menge) hat man offenbar nur für $\begin{eqnarray*} A=\emptyset \end{eqnarray*}$

16.01.2012, 20:57

MrNobodyJr

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Alles klar, dann nehme ich den Teil einfach komplett raus. Ich dachte nur, dass es eine Analogie zur Gruppentheorie gibt, wo $\begin{eqnarray*} (+, \mathbb{N}) \end{eqnarray*}$ aus ähnlichen Gründen wie oben, keine Gruppe ist.

Schade, da wollte ich einmal schlau sein Big Laugh

Grüße,
MrNobodyJr

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