Gram-Schmidt-Verfahren im Raum der reellen Polynome |
| 16.01.2012, 20:36 | Sly1 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Gram-Schmidt-Verfahren im Raum der reellen Polynome hallo, ich habe folgendes Problem: ich soll das Gram-Schmidt Verfahren auf den Raum der reellen Polynome im Intervall (0,1) und aus der Menge (1,x,x²) ein Orthonormalsystem erstellen. Mit Vektoren weiß ich es bereits aber nicht mit diesem Funktionsraum??? Meine Ideen: Um die erste Basis zu bekommen muss ich das erste Element der Menge (also {1} auf die Länge 1 bringen. Nur wie? |
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| 16.01.2012, 20:44 | galoisseinbruder | Auf diesen Beitrag antworten » |
Wie ist bei "Vektoren" (das hier sind auch Vektoren, als Elemente eines Vektorraums) die Länge definiert? |
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| 16.01.2012, 20:52 | Sly1 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Danke für die Hilfe erst einmal, mmh... wenn man es so sieht als Wurzel aus den quadraten der einzelnen Komponenten. Also für "1" = sqrt(1²)=1 ??? lg |
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| 16.01.2012, 21:03 | galoisseinbruder | Auf diesen Beitrag antworten » |
Gram-Schmidt funktioniert auf jedem prä-Hilbert-Räumen, also VR mit Skalarprodukt. Das wesentliche ist das Skalarprodukt, denn es induziert auch die Norm. Die Frage ist also was ist hier das Skalarprodukt? (für 1 ist die Norm schon mal richtig) |
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| 16.01.2012, 21:06 | Sly1 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ok, danke für die zurechtführung und die Bestätigung, also die Norm dieses Funktionsraumes ist nach meinen Erinnerungen doch das Integral über die beiden Funktionswerte oder? Um die zweite Basis zu berechnen benötige ich dann die Norm von "x". Ist die Norm von x wieder x? lg |
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| 16.01.2012, 21:13 | galoisseinbruder | Auf diesen Beitrag antworten » |
Normen liefern immer Skalar, da wir hier eine Norm auf einem reellen Vektorraum haben sogar positive reelle Zahlen. Richtig ist: ist das Skalarprodukt, also . Wobei ich vorm normieren erst orthogonalisieren würde. (ich normiere alles immer erst ganz am Ende) |
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| 16.01.2012, 21:15 | Sly1 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Vielen Dank, es wurden nun alle Fragen vollständig beantwort. Nun kann ich das Problem gut lösen! lg |
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