Limit ((tan x)^(tan 2x)), x->Pi/4

16.01.2012, 20:23	ErstiMechatroniker	Auf diesen Beitrag antworten »
Limit ((tan x)^(tan 2x)), x->Pi/4 Meine Frage: Hallo, Folgende Aufgabe: $\begin{eqnarray} \lim_{x \to \pi /4} (\tan(x))^{\tan(2x)} \end{eqnarray}$ es steht man solle diesen Limes mit l'Hospital lösen. Ich weiß, dass das Ergebnis 1/e ist. Meine Ideen: Ich habe leider keine Ahnung, wie mir hier l'Hospital weiterhelfen soll. Vielen Dank für Eure Ideen
16.01.2012, 21:17	user5	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Limit ((tan x)^(tan 2x)), x->Pi/4 Mein Vorschlag: Als e^(...) schreiben. (Regel: x^(irgendwas) = e^(ln(x) * irgendwas)). Da die Exponentialfunktion stetig ist, darf man e^(lim ...) schreiben. Term so umformen, dass De l'Hopital anwendbar ist. Tipp: tan(2x) = 1/(1/tan(2x)) Das sollte glaube ich klappen, habe es aber nicht durchgerechnet und werde heute nicht mehr weiterhelfen können.
16.01.2012, 21:34	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist $\begin{eqnarray} \tan(2x)=\frac{2\tan(x)}{1-\tan^2(x)} \end{eqnarray}$ , also gelangt man per Substitution $\begin{eqnarray} t=\tan(x) \end{eqnarray}$ zu $\begin{eqnarray} \lim\limits_{x\to\frac{\pi}{4}} \tan(2x)\cdot\ln(\tan(x)) = \lim\limits_{t\to 1} \frac{2t}{1-t^2}\cdot\ln(t) = \lim\limits_{t\to 1} \frac{2\ln(t)}{\frac{1}{t}-t} \end{eqnarray}$ , in der Form gut geeignet für L'Hospital. Es geht auch ohne diese Substitution, nur sind die Winkelfunktionsausdrücke etwas länger.
18.01.2012, 00:16	ErstiMechatroniker	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke

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