Exponentialgleichung auflösen - Logarithmus aus negativen Zahlen ...

16.01.2012, 22:41

Christian_P

Exponentialgleichung auflösen - Logarithmus aus negativen Zahlen ...

Ich bin auf folgendes Problem gestoßen;

Hier mein Rechenweg;

Ich möchte diese Gleichung nach n auflösen.

$\begin{eqnarray*} -\frac{243}{32}=\left(-\frac{3}{2}\right)^{n-1} \end{eqnarray*}$

Mit dem Newton-Verfahren des TR habe ich hier bereits eine Lösung, nämlich die Zahl 6. Es existiert also für diese negativen Zahlen eine Lösung der Gleichung.
Der Logarithmus aus negativen Zahlen ist aber nicht definiert.

$\begin{eqnarray*} \log{\left(-\frac{243}{32}\right)}=(n-1)\cdot \log{\left(-\frac{3}{2}\right)} \end{eqnarray*}$

also geht das hier oben irgendwie nicht! verwirrt

Nun hab ich einfach die Vorzeichen der Argumente gewechselt.

$\begin{eqnarray*} \log{\left(\frac{243}{32}\right)}=(n-1)\cdot \log{\left(\frac{3}{2}\right)}\quad\quad \log{\left(\frac{3^5}{2^5}\right)}=(n-1)\cdot \log{\left(\frac{3}{2}\right)} \quad\quad \log{\left(\frac{3}{2}\right)^5}=(n-1)\cdot \log{\left(\frac{3}{2}\right)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 5\cdot \log{\left(\frac{3}{2}\right)}=(n-1)\cdot \log{\left(\frac{3}{2}\right)} \quad \quad 5\cdot\frac{\log{\left(\frac{3}{2}\right)}}{\log{\left(\frac{3}{2}\right)}}=n-1 \quad \quad 5=n-1 \quad \quad \boxed{n=6} \end{eqnarray*}$

Jetzt habe ich die Frage, warum ich die Vorzeichen einfach wechseln konnte. Mir ist die mathematische Begründung dafür gerade nicht ganz klar. Kann das jemand erkären? Wäre sehr nett.

Grüße Wink

16.01.2012, 23:04

Leander1

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RE: Exponentialgleichung auflösen - Logarithmus aus negativen Zahlen ...
Hallo,
multipliziere die Gleichung mal am Anfang mit minus Eins:

$\begin{eqnarray*} -\frac{243}{32}=\left(-\frac{3}{2}\right)^{n-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{243}{32}=-\left(-\frac{3}{2}\right)^{n-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \log{\left(\frac{243}{32}\right)}=(n-1)\cdot \log{\left(\frac{3}{2}\right)} \end{eqnarray*}$

17.01.2012, 00:49

original

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RE: Exponentialgleichung auflösen - Logarithmus aus negativen Zahlen ...
Ich möchte diese Gleichung nach n auflösen.

$\begin{eqnarray*} -\frac{243}{32}=\left(-\frac{3}{2}\right)^{n-1} \end{eqnarray*}$

n aus N :
es ist so: du solltest zuerst eine Vorüberlegung machen:

wenn der Exponent von (-3/2) eine gerade Zahl ist, dann wirst du keine Lösung finden ,
da "der Logarithmus aus negativen Zahlen nicht definiert ist"

also kommen für n-1 nur ungerade Zahlen - und damit also für n nur gerade Zahlen in Frage:

dann:
für n gerade (also n-1 ungerade) ist $\begin{eqnarray*} \left(-\frac{3}{2}\right)^{n-1}= - \left(\frac{3}{2}\right)^{n-1} \end{eqnarray*}$

und damit wird für diese n deine Aufgabe zu dem wie üblich lösbaren Problem

$\begin{eqnarray*} +\frac{243}{32}= +\left(\frac{3}{2}\right)^{n-1} \end{eqnarray*}$

ok?

17.01.2012, 16:08

Christian_P

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Hi

Mit $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ zu multiplizieren wollte ich nicht so ohne Weiteres. Die Begründung über den ungeraden Exponenten scheint mir sehr einleuchtend zu sein.

[attach]22722[/attach]

Interessanter weise hat die Ausgangsgleichung eine ganze Menge an Lösungen, ich habe die Funktion mal bei Wolfram Alpha eingegeben - mehr als nur eine NUllstelle, der Taschenrechner bekommt das aber nicht so recht hin mit dem Newton Verfahren.

Danke für eure Antworten!

Grüße

17.01.2012, 17:49

Mathe-Maus

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RE: Exponentialgleichung auflösen - Logarithmus aus negativen Zahlen ...

Zitat:

Original von Leander1
Hallo,
multipliziere die Gleichung mal am Anfang mit minus Eins:

$\begin{eqnarray*} \frac{243}{32}=-\left(-\frac{3}{2}\right)^{n-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \log{\left(\frac{243}{32}\right)}=(n-1)\cdot \log{\left(\frac{3}{2}\right)} \end{eqnarray*}$

Meiner Meinung nach NICHT korrekt, da zuerst die Produktregel greift !

$\begin{eqnarray*} -\left(-\frac{3}{2}\right)^{n-1}= (-1) \cdot \left(-\frac{3}{2}\right)^{n-1} \end{eqnarray*}$

Nebenbei der Hinweis: Bei log muss eine Basis angegeben werden, bei lg bzw. ln nicht. Wird aber nur ein Flüchtigkeitsfehler sein.

LG Mathe-Maus

17.01.2012, 19:20

Christian_P

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Zitat:

Nebenbei der Hinweis: Bei log muss eine Basis angegeben werden, bei lg bzw. ln nicht. Wird aber nur ein Flüchtigkeitsfehler sein.

Danke für den Tipp Gott

Nehmen wir mal diesen einfachen Fall, der recht ähnlich ist.

$\begin{eqnarray*} -1=(-1)^x \end{eqnarray*}$

Wenn ich diese Gleichung nach x auflösen möchte;

$\begin{eqnarray*} -1\cdot -1=-1\cdot(-1)^x \end{eqnarray*}$

Nur wenn x ungerade ist, dann ergäbe es Sinn;
Wie original gesagt hat.

$\begin{eqnarray*} \end{eqnarray*}\begin{align*} -1\cdot -1 &=-1\cdot(-1)^{2n+1} \\ 1 &=1^{2n+1} \\ x &=2n+1 \\ n&\in\mathbb{Z}\end{align*}\begin{eqnarray*} \end{eqnarray*}$

Wenn ich nun zur Funktion übergehe, warum ist diese periodisch? seltsam...
Man kann das so von vornherein gar nicht erkennen!

$\begin{eqnarray*} f(x)=1+(-1)^x \end{eqnarray*}$

Grüße

17.01.2012, 20:02

Mathe-Maus

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Nochmal zurück zur Ausgangsgleichung:
Ich habe den Eindruck, diese Aufgabe sollte mit dem Schulstoff POTENZGESETZE (Klasse 9 bzw. 10 ) gelöst werden ...

$\begin{eqnarray*} -\frac{243}{32}=\left(-\frac{3}{2}\right)^{n-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -243=(-3)^{5} \end{eqnarray*}$
Könnte man natürlich auch anders schreiben, aber so ist es am Geschicktesten.

Daraus folgt:
$\begin{eqnarray*} \frac{(-3)^{5} }{2^{5} }= (-\frac{3}{2} )^{n-1} \end{eqnarray*}$

Linker Term hat gleiche Potenz, also zusammenfassen:
$\begin{eqnarray*} (-\frac{3}{2})^5 = (-\frac{3}{2} )^{n-1} \end{eqnarray*}$

Jetzt sieht man schon mit Blick auf die Potenzen: 5=n-1 ..... n=6

Wer es noch nicht sieht, darf noch weitermachen:
$\begin{eqnarray*} (-\frac{3}{2})^5 = (-\frac{3}{2} )^{n}: (-\frac{3}{2} )^{1} \end{eqnarray*}$

Multipilzieren auf beiden Seiten mit $\begin{eqnarray*} (-\frac{3}{2} )^{1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (-\frac{3}{2})^6 = (-\frac{3}{2} )^{n} \end{eqnarray*}$

Blick auf die Potenzen: n=6

LG Mathe-Maus Wink

18.01.2012, 14:26

Christian_P

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Stimmt, so kann man es auch machen. Welch ein Geniestreich Augenzwinkern

Danke für deine Mühe!

Basengleichheit ist immer schön.

Ist das die einzige reelle Lösung dieser Gleichung?
Müsste ja dann eigentlich so sein.

Grüße

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