richtungsableitung

16.01.2012, 23:11

dark123

richtungsableitung

hi

kann mir jemand folgende aufgabe erklären:

Bestimmen Sie die Richtungsableitung von $\begin{eqnarray*} f(x, y, z) = x^3 y z ^2 + e^{2x} \end{eqnarray*}$

in Richtung des
Vektors $\begin{eqnarray*} a = (1, 1, 1) \end{eqnarray*}$ im Punkt $\begin{eqnarray*} P(0, 3, 2) \end{eqnarray*}$ .

Weiters bestimme man die Richtung der maximalen Änderung von f in P.

also ich weiss was die richtungsableitung ist. nur wie ich das jetzt genau berechnen kann weiss ich nicht. vl könnte mir das jemand an einem beispiel erklären.

17.01.2012, 02:38

frank09

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RE: richtungsableitung
Die Richtung des stärksten Anstiegs nennt man auch Gradient, wie folgt definiert:

$\begin{eqnarray*} \nabla f=\operatorname{grad}(f)=\frac{\partial f}{\partial x_{1}}\hat{e}_{1}+\cdots+\frac{\partial f}{\partial x_{n}}\hat{e}_{n}=\begin{pmatrix}\frac{\partial f}{\partial x_{1}}\\ \vdots\\ \frac{\partial f}{\partial x_{n}}\end{pmatrix}; \end{eqnarray*}$

Praktisch heißt das, dass die einzelnen Einträge des Vektors aus den part. Ableitungen nach x,y und z darstellen.

Die Richtungsableitung am Punkt $\begin{eqnarray*} \vec x \end{eqnarray*}$ in Richtung $\begin{eqnarray*} \vec v \end{eqnarray*}$
lässt sich so darstellen
$\begin{eqnarray*} \nabla f(\vec x) \cdot \vec v \end{eqnarray*}$
Rechnerisch setzt du in den Gradienten die Koordinaten von P ein und bildest das Skalarprodunkt mit (dem auf Betrag 1 normierten) Vektor a.

17.01.2012, 16:31

dark123

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Ok also zunächst alle ableitungen;

$\begin{eqnarray*} \nabla f=\operatorname{grad}(f)=\frac{\partial f}{\partial x_{1}}\hat{e}_{1}+\cdots+\frac{\partial f}{\partial x_{n}}\hat{e}_{n}=\begin{pmatrix} 2*e^{2x}+3 x^2yz^2 x^3z^2 2zx^3y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Rechnerisch setzt du in den Gradienten die Koordinaten von P ein und bildest das Skalarprodunkt mit (dem auf Betrag 1 normierten) Vektor a.

Wie meinst du das die koordinaten von P einsetzten? und was ist ein auf den Betrag 1 normierter Vektor? wieso auf 1 normiert?

17.01.2012, 22:54

frank09

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RE: richtungsableitung

Zitat:

Wie meinst du das die koordinaten von P einsetzten?

Du setzt dann x=0; y=3; z=2 für die Variablen des Ableitungsvektors.

Zitat:

und was ist ein auf den Betrag 1 normierter Vektor?

Man teilt den Vektor durch seine Länge. Er hat immer noch dieselbe Richtung, aber die Länge 1:

$\begin{eqnarray*} \vec{a_e}=\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}=\frac{1}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Zitat:

wieso auf 1 normiert?

Würde man ihn nicht normieren, wäre die Ableitung in Richtung (2|2|2) , also dieselbe Richtung wie a, auf einmal doppelt so groß. Analog ist auch die "normale" Ableitung immer auf 1 normiert. Sie besagt, um welchen Wert der Funktionswert* steigt, wenn ich 1 (Schritt) entlang der X-Achse nach rechts gehe. Hier gehst du einen Schritt in Richtung von a. Hätte a die Länge 2, würdest du ja schon 2 Schritte gehen.

*eigentlich der Tangente

17.01.2012, 23:29

dark123

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RE: richtungsableitung
ok das wäre dann:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 0 0 \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = 2*\frac{1}{\sqrt{3}} +2*\frac{0}{\sqrt{3}}+ 2*\frac{0}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} \end{eqnarray*}$

ist das soweit richtig?

und wie bestimmt man dann die Richtung der maximalen Änderung von f in P?

18.01.2012, 00:37

frank09

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RE: richtungsableitung
Der Wert ist richtig.

Wie zu Anfang schon erwähnt ist die Richtung des stärksten Anstiegs gleich dem Gradienten, also in deinem Fall (2|0|0) oder (1|0|0). Wenn du die Steigung in dieser Richtung errechnest, kommst du auf 2.

18.01.2012, 09:38

dark123

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ok dann ist alles klar.

vielen dank für die ausführliche erklärung smile

18.01.2012, 11:18

dark123

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ok eine frage hab ich noch. in einem anderen beispiel soll ich die richtungsableitung in richtung aller vektoren im ursprung bestimmen. was ist damit gemeint in richtung aller vektoren?

18.01.2012, 16:12

frank09

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Errechne den Gradienten im Ursprung. Möglicherweise ist die Steigung von der Richtung
unabhängig. Ansonsten musst du eine allgemeine Aussage in Abhängigkeit der Richtung treffen.

21.05.2012, 12:44

Nord.Kind

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Ich verstehe nicht, wie diese Definition:
$\begin{eqnarray*} \partial_sU(x_0)=\lim_{t\to0}\frac{U(x_0+ts)-U(x_0)}t \end{eqnarray*}$

mit
$\begin{eqnarray*} \nabla f(\vec x) \cdot \vec v \end{eqnarray*}$

zusammenpasst.

Ist es in Ordnung wenn ich mir einfach die zweite Formel merke?

Beste grüße!

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