Maximumprinzip / Minimumprinzip: so richtig?

17.01.2012, 08:13

latingirl

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Maximumprinzip / Minimumprinzip: so richtig?

Meine Frage:
Guten Morgen!

Ich bin mir nicht sicher, ob ich das Max./Min.prinzip bei dieser Aufgabe richtig anwende:
Sei f holom. und nicht-konstant in einer Umgeb. der abgeschl. Einheitskreisscheibe. Auf der Einheitskreislinie sei $\begin{eqnarray*} | f(z)| \equiv const\neq 0 \end{eqnarray*}$ .
Dann besitzt f eine Nullstelle auf dem Einheitskreis (ohne Rand).

Meine Ideen:
Nach Vorauss. ist ja f nicht konstant, weshalb nach dem Max.prinzip folgt, dass f sein Max. auf der Einh.kreislinie annimmt. Damit ist ja f auf dem Einh.kreis beschränkt und somit hat f nach dem Min.prinzip dort Nullstellen oder nimmt sein Minimum auf der Einheitskreislinie an.
Es schließt sich ja nicht aus, dass f sowohl Max. als auch Min. auf der Einh.kreislinie annimmt, oder???
Warum sehe ich direkt aus dem Min.prinzip, dass f (mind.) eine Nullstelle auf dem Einheitskreis haben muss???

Danke schon jetzt!

17.01.2012, 12:38

juffo-wup

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RE: Maximumprinzip / Minimumprinzip: so richtig?

Zitat:

Original von latingirl
Es schließt sich ja nicht aus, dass f sowohl Max. als auch Min. auf der Einh.kreislinie annimmt, oder???

Dann wäre doch |f| konstant auf der abgeschlossenen Kreisscheibe.

edit: Außerdem solltest du immer von Min. und Max. von f auf der abgeschlossenen Kreisscheibe reden. Was außerhalb passiert, darüber liefern Minimums- und Maximumsprinzip hier keine brauchbare Aussage (und es ist auch für die Aufgabe nicht wichtig), es könnte z.B. kein Maximum geben. Auf der Kreisscheibe wegen der Kompaktheit natürlich schon.

17.01.2012, 17:15

latingirl

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Zitat:

Original von juffo-wup

Dann wäre doch |f| konstant auf der abgeschlossenen Kreisscheibe.

Das verstehe ich nicht so recht... Warum ist das so?

Obwohl C kein angeordneter Körper ist, kann eine komplexwertige Fkt. doch ein Min./Max. annehmen, oder??? Ich bin grad leicht verwirrt...

Abgesehen von meinen eigenen obigen Überlegungen steht wie gesagt in der Lösung, dass die Aussage sofort aus dem Min.prinzip folgt, warum?

17.01.2012, 18:38

juffo-wup

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Zitat:

Das verstehe ich nicht so recht... Warum ist das so?

Wenn sowohl Minimum als auch Maximum auf dem Kreis angenommen werden, dann sind diese beiden doch gleich, wenn die Funktion auf dem Kreis konstant ist, wie in der Aufgabe gegeben. Daraus folgt, dass |f| konstant auf der abgeschlossenen Kreisscheibe ist. Das steht aber im Widerspruch zum Maximusprinzip für das nicht-konstante f auf der offenen Kreisscheibe, also kann das nicht sein.

Zitat:

Abgesehen von meinen eigenen obigen Überlegungen steht wie gesagt in der Lösung, dass die Aussage sofort aus dem Min.prinzip folgt, warum?

Also ohne das Maximusprinzip zu verweden? Da sehe ich nicht, wie das gehen sollte. Aber das 'sofort' muss auch nicht wörtlich gemeint sein.

17.01.2012, 20:09

latingirl

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Zitat:

Original von juffo-wup
Wenn sowohl Minimum als auch Maximum auf dem Kreis angenommen werden, dann sind diese beiden doch gleich, wenn die Funktion auf dem Kreis konstant ist, wie in der Aufgabe gegeben.

In der Aufgabe steht doch lediglich, dass |f| konstant auf der Kreislinie. Über f wird dort doch keine Aussage gemacht...

17.01.2012, 20:29

latingirl

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Ahh...., ich glaub ich hab's (Wickie lässt grüßen :wink smile

smile

:

Also, angenommen f nimmt auf der Einheitskreislinie das Minimum an.

Dann gilt ja für alle z einer Umgebung dieses zugehörigen Punktes $\begin{eqnarray*} z_0 \end{eqnarray*}$ , die noch in der per Vorauss. ex. Umgeb. liegt, dass $\begin{eqnarray*} |f(z_0)|\leq|f(z)| \end{eqnarray*}$ .
Und somit wäre nach dem Min.prinzip $\begin{eqnarray*} f\equiv f(z_0) \end{eqnarray*}$ .
Nach Vorauss. ist f jedoch nicht konstant, weshalb (nach Min.prinzip) f Nullstellen im Einheitskreis haben muss.

Stimmt das so???

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17.01.2012, 20:46

juffo-wup

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Zitat:

Original von latingirl
In der Aufgabe steht doch lediglich, dass |f| konstant auf der Kreislinie. Über f wird dort doch keine Aussage gemacht...

Ok, mal ausführlich:
Wir haben $\begin{eqnarray*} |f|\equiv c \end{eqnarray*}$ auf dem Kreis.
Außerdem $\begin{eqnarray*} |f(z)|\leq |f(z_0)| \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} |f(z)|\geq |f(z_1)| \end{eqnarray*}$
für gewisse $\begin{eqnarray*} z_0,z_1 \end{eqnarray*}$ auf dem Kreis und alle z auf der Kreisscheibe.
Damit doch $\begin{eqnarray*} |f(z)|\leq c \leq |f(z)| \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} |f(z)|=c \end{eqnarray*}$ für alle z auf der Kreisscheibe.

Bei dem von dir zitierten Beweis verstehe ich nicht, wie die Zeile mit "Und somit wäre nach dem Min.prinzip.." sofort aus dem Vorherigen folgt. Aber vielleicht wird ja auch eine andere Version vom Minimumsprinzip verwendet als die, die ich kenne. (Ich kenne: Minimusprinzip ist Maximumsprinzip für 1/f und eine nullstellenfreie Funktion f)

17.01.2012, 20:53

latingirl

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$\begin{eqnarray*} |f(z)|=c \end{eqnarray*}$ für alle z auf der Kreisscheibe ist doch kein Widerspruch dazu, dass f per Vorauss. nicht konstant ist...

17.01.2012, 21:03

juffo-wup

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Doch, nämlich wie gesagt zum Maximumsprinzip für f. Das besagt doch, dass f, wenn nicht kontant, sein Betragsmaximum nicht im Innern der Kreisscheibe annehmen kann.

17.01.2012, 21:06

latingirl

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Ja, so haben wir das Min.prinzip bewiesen.
Aber wie gesagt, ich kenne es so;
Sei f holom. und ungleich 0 in einem Gebiet G.
Gilt für ein z_0 aus G $\begin{eqnarray*} |f(z_0)| \leq |f(z)| \end{eqnarray*}$ für alle z aus einer (in G) off. Umgebung von z_0, dann gilt $\begin{eqnarray*} f \equiv f(z_0) \end{eqnarray*}$ .

Upps, ich hab die Nullstellenfreiheit als Vorauss. nach meiner Formulierung des Min.prinzips übersehen.
Abbr das macht nix, denn ich könnte ja rückwärts, sozusagen durch Kontraposition schließen:
$\begin{eqnarray*} f \equiv f(z_0) \end{eqnarray*}$ stimmt ja, und da ich weiß, dass f nicht konstant f(z_0) sein kann (nach Vorauss.) muss f Nullstellen haben.

Hoffe, es stimmt jetzt...

17.01.2012, 21:07

latingirl

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... und da wären wir wieder bei der Frage, die immer noch nicht so recht beantwortet ist:
Ein Maximum bedeutet doch auch ein Betragsmaximum (bzgl. komplexwertiger FUnktionen) und umgekehrt auch???

17.01.2012, 21:16

juffo-wup

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Was willst du denn sonst unter dem Maximum einer komplexwertigen Funktion verstehen? Das 'Maximum', bei dem beim Max.Prinzip die Rede ist, ist jedenfalls Maximum des Betrags der Funktion.

17.01.2012, 21:25

juffo-wup

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Zitat:

Original von latingirl
Upps, ich hab die Nullstellenfreiheit als Vorauss. nach meiner Formulierung des Min.prinzips übersehen.
Abbr das macht nix, denn ich könnte ja rückwärts, sozusagen durch Kontraposition schließen:
$\begin{eqnarray*} f \equiv f(z_0) \end{eqnarray*}$ stimmt ja, und da ich weiß, dass f nicht konstant f(z_0) sein kann (nach Vorauss.) muss f Nullstellen haben

Diese Nullstelle könnte aber auch außerhalb des Kreises liegen (also Betrag >1 haben) oder zumindest sehe ich im Moment nicht, wie man das ausschließen würde.

17.01.2012, 21:28

latingirl

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Zitat:

Original von juffo-wup
Was willst du denn sonst unter dem Maximum einer komplexwertigen Funktion verstehen? Das 'Maximum', bei dem beim Max.Prinzip die Rede ist, ist jedenfalls Maximum des Betrags der Funktion.

Bei mir im Skript steht: f nimmt sein Max. auf dem Rand an...
Deshalb frag ich ja auch...

17.01.2012, 21:31

latingirl

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Iwie dreht sich jetzt grad alles im Kreis: Ich weiß immer noch nicht wie ich das Min.prinzip einsetzen soll, sorry verwirrt

verwirrt

17.01.2012, 21:36

juffo-wup

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Ich verstehe den Beweis auch nicht. Vielleicht kann sich ja noch jemand anderes dazu melden. Ansonsten ist der Beweis, der auch das Maximumsprinzip verwendet, ja auch nicht so lang.

17.01.2012, 21:39

latingirl

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Da hast du schon Recht und nochmals vielen Dank für dein eifriges Antworten...

Was verwendest du für diese Aussage:

Zitat:

Original von juffo-wup

Außerdem $\begin{eqnarray*} |f(z)|\leq |f(z_0)| \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} |f(z)|\geq |f(z_1)| \end{eqnarray*}$
für gewisse $\begin{eqnarray*} z_0,z_1 \end{eqnarray*}$ auf dem Kreis und alle z auf der Kreisscheibe.

???

17.01.2012, 21:49

juffo-wup

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Maximums- und Minimumsprinzip für f auf der Kreisscheibe.

17.01.2012, 21:55

latingirl

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... und die Verwirrung wächst und wächst ...
Das kann ich wiederum iwie nicht nachvollziehen (vielleicht liegt's ja wieder an meiner Version der Prinzipe)...
Ojeee!

17.01.2012, 22:00

juffo-wup

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f ist nicht auf der Kreisscheibe konstant, nimmt daher das Betragsmaximum auf dem Rand an nach Maximumsprinzip. Daher existiert dieses $\begin{eqnarray*} z_0. \end{eqnarray*}$
Wenn f keine Nullstellen im Innern des Kreises hat, ist das Minimumsprinzip anwendbar und das Betragsminimum wird auch auf dem Rand angenommen, daher kommt das $\begin{eqnarray*} z_1. \end{eqnarray*}$

17.01.2012, 22:03

latingirl

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Toi, toi, toi, ich geh's nochmals durch, aber jetzt ist es mir (hoffentlich) klar...
Danke für dein Durchhaltevermögen!
So eine merkwürdige Aufgabe...

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