Beweis, dass eine Funktion bijektiv ist ?

14.01.2007, 17:47

ALL-IN

Beweis, dass eine Funktion bijektiv ist ?

Eine Funktion ist bijektiv, wenn sie sowohl surjektiv als auch injektiv ist. Das ist alles vollkommen klar, aber wie beweise ich das für eine bestimmte Funktion ?

Wie beweisst man also für eine bestimmte Funktion f(x) dass f(x) bijektiv, bzw. injektiv und surjektiv ist ?

Danke für Hilfe

14.01.2007, 17:56

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in dem du einfach die Definition dieser Begriffe anwendest. Du schaust ob diese erfüllt sind

14.01.2007, 18:03

ALL-IN

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sehr richtig. Und jetzt zu meiner Frage: Wie macht man das ?

14.01.2007, 18:29

ALL-IN

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Also:

Es geht um f(x) = x^2 * e^x.

Wie beweise ich Bijektivität, sprich Surjektivität und Injektivität ?

14.01.2007, 19:33

Schmonk

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Geht es nur um den Begriff der Bijektivität? Oder sollst du bijektiv, surjektiv und injektiv einzeln untersuchen? "Injektivität" sieht jetzt erstmal ein wenig unschön aus.
Wie ist denn der Wertebereich deiner Funktion angegeben? Das ist wichtig für die Surjektivität.

14.01.2007, 19:52

ALL-IN

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Zitat:

Original von Schmonk
Geht es nur um den Begriff der Bijektivität? Oder sollst du bijektiv, surjektiv und injektiv einzeln untersuchen? "Injektivität" sieht jetzt erstmal ein wenig unschön aus.
Wie ist denn der Wertebereich deiner Funktion angegeben? Das ist wichtig für die Surjektivität.

Genauer Wortlaut der Aufgabenstellung:

f(x) = x^2 * e^x.

Zeige, dass f : R > 0 ----> R > 0 bijektiv ist.

smile

14.01.2007, 19:59

Schmonk

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Ah...nagut, dann ist es etwas anderes. Da ja nur positive Argumente zugelassen sind, ist deine Funktion bijektiv, zumindest wenn man sich den Graphen mal anschaut. Jetzt muss man sich mal überlegen, wie man das auch nachweist.
Surjektivität ist leicht. Tipp: Die funktion ist monoton wachsen. Wenn du dann noch den Zwischenwertsatz anwendest hast du Surjektivität nachgewiesen.

Über Injektivität muss ich noch nachdenken...

14.01.2007, 20:05

Schmonk

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Für Injektivität hilft der Satz von Rolle.

Und wie war das jetzt mit der Umkehrfunktion? Sollst du die wirklich explizit angeben?

14.01.2007, 20:23

ALL-IN

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Zitat:

Original von Schmonk
Für Injektivität hilft der Satz von Rolle.

Und wie war das jetzt mit der Umkehrfunktion? Sollst du die wirklich explizit angeben?

Die Umkehrfunktion soll bestimmt werden für alle X Element aus R > 0 !

14.01.2007, 20:33

Frooke

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Zitat:

Original von Schmonk
Tipp: Die funktion ist monoton wachsen. Wenn du dann noch den Zwischenwertsatz anwendest hast du Surjektivität nachgewiesen.

Über Injektivität muss ich noch nachdenken...

Wenn die Funktion streng monoton steigt und stetig ist, ist die Injektivität gezeigt Augenzwinkern

...

@ALL-IN: Die Umkehrfunktion kannst Du mit der W-Funktion angeben:

$\begin{eqnarray*} x^2 ~\mathrm e^x = y \Longleftrightarrow \frac{1}{2}x \mathrm e^{\frac{1}{2}x}=\frac{\sqrt y}{2} \end{eqnarray*}$

also

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}x=\mathrm W\left(\frac{\sqrt y}{2}\right) \end{eqnarray*}$

also

$\begin{eqnarray*} f^{-1}(x)=2\mathrm W\left(\frac{\sqrt x}{2}\right) \end{eqnarray*}$

Mit den Definitionsbereichen darfst Du dich quälen smile

(sehe gerade dass das in der Aufgabenstellung schon entschärft wurde Augenzwinkern

...

Plot noch:

14.01.2007, 20:34

Raumpfleger

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Wenn f(x) = x^2 e^x nicht injektiv wäre, dann müsste
f(x) = f(x') sein können, ohne dass x = x' ist. "Rechnen" wir das, sei x'= x + d mit d != 0.

Das führt auf (x + d)^2/x^2 = e^-d und für x > 0 gibt's da nur die Lösung d = 0, somit f injektiv.

14.01.2007, 20:53

Frooke

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Ich gebe die Rechnung mal schrittweise durch, @ ALL-IN:

$\begin{eqnarray*} x^2 ~\mathrm e^x = y \Longleftrightarrow \frac{1}{2}x \mathrm e^{\frac{1}{2}x}=\frac{\sqrt y}{2} \end{eqnarray*}$

Soweit nehme ich an, ist es klar.

Nun schau Dir das da mal gut an, dann siehst Du, warum die Umformung Sinn ergibt: Anschliessend wendest Du eben W an und nimmst noch mal 2.

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}x=\mathrm W\left(\frac{\sqrt y}{2}\right) \end{eqnarray*}$

Variablen vertauschen.

$\begin{eqnarray*} f^{-1}(x)=2\mathrm W\left(\frac{\sqrt x}{2}\right) \end{eqnarray*}$ .

14.01.2007, 20:57

ALL-IN

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Nein, ich versteh leider überhaupt nix davon da ich keine Ahnung habe was eine W-Funktion ist ?! Ich verfolge die Vorlesungen sehr gewissenhaft, aber eine "W-Funktion" ist mir komplett neu.

14.01.2007, 21:08

Frooke

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Kurz: Die W-Funktion ist definiert als Umkehrfunktion der Produkteexponentialfunktion, also von

$\begin{eqnarray*} f(x):=x~\mathrm e^x \end{eqnarray*}$

Man schreibt:

$\begin{eqnarray*} f^{-1}(x):=\mathrm W(x) \end{eqnarray*}$

Für Umkehrungen musst Du die Sache also in die Form

$\begin{eqnarray*} y=u(x)\mathrm e^{u(x)} \end{eqnarray*}$

bringen und es gilt dann:

$\begin{eqnarray*} W\left(y\right)=u(x) \end{eqnarray*}$

und damit:

$\begin{eqnarray*} x=u^{-1}\left(\mathrm W\left(y\right)\right) \end{eqnarray*}$ .

Hoffe, es sei etwas klarer, sorry.

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