Exponentialfunktion - Ableitungen hierzu!

17.01.2012, 12:24

nonoblue

Exponentialfunktion - Ableitungen hierzu!

Edit (mY+): Ungeschickte Titelwahl! ( "E hoch irgendwas" ) Überschrift modifiziert.

Meine Frage:
Gibt es eine allgemeine Regel zur Ableitungen von Potenzen mit E, die Basis ist das x plus irgenwas, minus irgendwas, -x usw. ?
Komme da garnicht weiter unglücklich

Sorry falls ich was falsch mache, ist meine erste Frage hier.

Meine Ideen:
Mit der Kettenregel muss man dies scheinbar ausrechnen. Aber die kann ich kaum anwenden, ich weiß bloß, dass man zuerst die Ableitung der äußeren Funktion, dann die unveränderte innere Funktion und dann die abgeleitete innere Funktion hinschreibt. Außerdem weiß ich, dass bei Ableitungen mit e^x dieser Term auch immer so stehen bleiben muss.

17.01.2012, 12:31

Mulder

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RE: E hoch "Irgendwas" - Ableitungen hierzu!

Zitat:

Original von nonoblue
Aber die kann ich kaum anwenden, ich weiß bloß, dass man zuerst die Ableitung der äußeren Funktion, dann die unveränderte innere Funktion und dann die abgeleitete innere Funktion hinschreibt. Außerdem weiß ich, dass bei Ableitungen mit e^x dieser Term auch immer so stehen bleiben muss.

Ja, denn wenn du e^x ableitest, ist die innere Ableitung 1 und 1*e^x bleibt e^x. Augenzwinkern

Wenn ich dich richtig verstanden habe, geht es dir um e-Funktionen allgemein. Nun, schauen wir mal:

$\begin{eqnarray*} f(x) = e^{g(x)} \end{eqnarray*}$

Der Exponent, das habe ich hier g(x) genannt, ist unsere innere Funktion. Das kann einfach nur x sein, aber auch x+2 oder sonst irgendwas.

Grundsätzlich gilt: Die äußere Ableitung ist einfach die Funktion selber, die kannst du genau so wieder hinschreiben. Das multiplizierst du mit der inneren Ableitung, das ist einfach die Ableitung des Exponenten, das was ich g(x) genannt habe. "Nachdifferenzieren" wird das gerne genannt. Beispiel:

$\begin{eqnarray*} f(x) = e^{x^2+x} \end{eqnarray*}$

Also Kettenregel: Äußere mal innere Ableitung. Äußere Ableitung ist einfach die e-Funktion komplett nochmal hingeschrieben. Also:

$\begin{eqnarray*} f'(x) = e^{x^2+x} \cdot \text{innere Ableitung} \end{eqnarray*}$

Es fehlt noch die innere Ableitung. Schauen wir uns die mal an. Im Exponenten steht

$\begin{eqnarray*} x^2+x \end{eqnarray*}$

Was ergibt das abgeleitet? Diese Ableitung multiplizierst du noch mit der e-Funktion und fertig ist deine gesamte Ableitung. Mach mal. Augenzwinkern

So funktioniert das dann auch IMMER. Allgemein also:

$\begin{eqnarray*} f(x) = e^{g(x)} \quad \Rightarrow \quad f'(x) = g'(x) \cdot e^{g(x)} \end{eqnarray*}$

Ist eigentlich ganz einfach. Wenn du diese eine Regel im Kopf behälst, hast du eigentlich alle e-Funktionen im Sack.

17.01.2012, 13:06

nonoblue

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DUUUU bist mein Superheld, Mulder :o

Wow, klingt wirklich sehr einleuchtend so! Ich hab bei deinem Beispiel raus:

f(x) = e^(x^2)+2-> f`(x) = e^(x^2)+2 * 2x

Dennoch muss ich jetzt mein ganzes Kettenregel-Wissen über Bord werfen: Ich dachte bislang, wenn man eine Funktion über die Kettenregel ableiten will, sucht man zuerst die innere und die äußere Funktion (ich erkenne das immer aus dem Optischen heraus), schreibt die Ableitung von der äußeren hin, dann die normale innere in Klammern, dann die Ableitung der inneren dahinter Erstaunt2

Macht man die e-Funktion dann also anders? Ist das eine andere Regelung Oder wirkt das bloß so?

was, wenn ich dann wurzel aus e habe? ist dann die wurzel die äußere, e die innere funktion und schreibt man dann wurzel*e*0 ?

Tausend Dank dir! Blumen

17.01.2012, 13:13

Mulder

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Zitat:

Original von nonoblue
f(x) = e^(x^2)+2-> f`(x) = e^(x^2)+2 * 2x

Also ich hatte eigentlich $\begin{eqnarray*} e^{x^2+x} \end{eqnarray*}$ geschrieben, du hast daraus jetzt wohl $\begin{eqnarray*} e^{x^2+2} \end{eqnarray*}$ gelesen. Macht aber auch nichts, wenn du $\begin{eqnarray*} e^{x^2+2} \end{eqnarray*}$ meintest, hast du auf jeden Fall richtig abgeleitet. Aber setz richtig Klammern, die +2 stehen ja auch im Exponenten. Also schreib das so:

e^(x^2+2)*2x

Klar?

Zitat:

Original von nonoblue
Dennoch muss ich jetzt mein ganzes Kettenregel-Wissen über Bord werfen: Ich dachte bislang, wenn man eine Funktion über die Kettenregel ableiten will, sucht man zuerst die innere und die äußere Funktion (ich erkenne das immer aus dem Optischen heraus), schreibt die Ableitung von der äußeren hin, dann die normale innere in Klammern, dann die Ableitung der inneren dahinter

Über Board werfen musst du gar nichts, es ist alles richtig, was du schreibst. ABER das ist ja gerade das interessante an der e-Funktion: Dass die äußere Ableitung der e-Funktion genau wieder die e-Funktion selber ist. Bei anderen Funktionen ist das ja nicht so, die e-Funktion ist da eben eine ganz besondere Funktion. Und das macht es ja umso einfacher, weil man bei der äußeren Ableitung gar nicht lange nachdenken muss.

Zitat:

Original von nonoblue
was, wenn ich dann wurzel aus e habe? ist dann die wurzel die äußere, e die innere funktion und schreibt man dann wurzel*e*0 ?

Ist etwas unverständlich, schreib die Funktion, die du meinst, mal genau hin. Nutze auch ruhig den Formeleditor, damit wir keine Missverständnisse haben.

17.01.2012, 13:27

nonoblue

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Von dem Editor wusste ich nich nichts, deswegen sieht das so verwirrend aus Augenzwinkern

Okay, hab's jetzt glaub ich klar. Lerne gleich noch ein bisschen, dann kann ich das bestimmt auch wirklich smile

Ich meinte $\begin{eqnarray*} \sqrt{e} \end{eqnarray*}$ , daraus die Ableitung wäre demnach doch dann $\begin{eqnarray*} \sqrt\cdot e \cdot 0 \end{eqnarray*}$ ?
Oder täsuch ich mich jetzt komplett?

17.01.2012, 13:29

Mulder

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Ach so, ja klar ist das dann null. $\begin{eqnarray*} \sqrt{e} \end{eqnarray*}$ ist ja eine konstante Zahl, das wird natürlich beim Ableiten null. Da braucht man auch keine Kettenregel. Konstante Funktionen ergeben beim Ableiten immer null.

Sieht man vielleicht eher, wenn man $\begin{eqnarray*} \sqrt e = e^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$ schreibt. Nach Potenzgesetzen.

17.01.2012, 13:37

nonoblue

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oh, du hast Recht! smile

Und wenn statt der e ein x da steht?

Heißt das alles im Prinzip, dass ich bei "normalen Funktionen" die Sequenz 'Ableitung äußere $\begin{eqnarray*} \cdot \end{eqnarray*}$ unveränderte innere $\begin{eqnarray*} \cdot \end{eqnarray*}$ Ableitung innere' habe,
bei der e-Funktion dann aber 'unveränderte innere UND äußere $\begin{eqnarray*} \cdot \end{eqnarray*}$ Ableitung innere' habe? So hätte ja eine Art Regelung, die schreib ich mir dann auf und lerne die für morgen smile

17.01.2012, 13:38

nonoblue

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Achja sorry, dieses Komische sollen Malpunkte sein, hab da den Dreh noch nicht ganz raus

17.01.2012, 13:44

Mulder

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Wenn da statt e ein x steht, ergibt sich

$\begin{eqnarray*} f(x) = \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$

Das ist wieder ein ganz anderes Ding. Es macht ja einen Unterschied, ob das x in der Basis, oder im Exponenten steht. Steht das x in der Basis, ist es eine Potenzfunktion (die du mit der Potenzregel ableitest, nicht mit der Kettenregel!) und wenn das x im Exponenten steht, ist es eine Exponentialfunktion, dafür nimmt man die Kettenregel.

Was du mit "unveränderte innere" meinst, weiß ich grad nicht. Kettenregel besagt "Äußere Ableitung mal innere Ableitung". Das ist alles. Bei der e-Funktion ist die äußere Ableitung wieder die Funktion selber, bei anderen Funktionen nicht.

17.01.2012, 13:53

nonoblue

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Das dachte ich, weil es ja heißt f'(x)=u'(v(x))*v'(x) und dieses v(x) ist ja die innere Funktion, bloß nicht abgeleitet, also "unverändert"?

17.01.2012, 13:58

Mulder

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Ah so, dann ist dein Malzeichen da missverständlich gewesen. Du hast ja geschrieben:

"Ableitung äußere * unveränderte innere * Ableitung innere"

Das das v'(u(x)) ist in dem Sinne ja kein Produkt, sondern eine verkettete Funktion, wobei das v' die äußere und u(x) die innere Funktion ist.

Merk's dir lieber mit den Formeln.

$\begin{eqnarray*} f(g(x)) \end{eqnarray*}$ abgeleitet ergibt $\begin{eqnarray*} f'(g(x)) \cdot g'(x) \end{eqnarray*}$

Fertig. Und dann bedenke den Sonderfall bei der e-Funktion. Dann weißt du eigentlich alles.

Und sowas wie $\begin{eqnarray*} x^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$ leitest du natürlich genau so ab, wie du zum Beispiel auch $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x^3 \end{eqnarray*}$ ableiten würdest.

17.01.2012, 14:07

nonoblue

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Okay, habs's jetzt soweit verstanden! smile

Danke dir Mulder, hoffentlich weß ich das alles morgen auch noch Augenzwinkern

28.07.2014, 01:47

florian94

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Danke!
Nach dieser Erklärung hab ich's auch raus smile

Danke!!

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