Kubischer Spline überbestimmt |
| 17.01.2012, 14:02 | Powerpp | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Kubischer Spline überbestimmt Hallo, ich habe folgendes Problem: Ich möchte folgende Punkte durch einen kubischen Spline interpolieren. p1(2/4), p2 (4/2) (8/7). und 2 polynome erhalten: f1(x)=a1*x^3 + b1*x^2 + c1*x + d1 f2(x)=a2*x^3 + b2*x^2 + c2*x + d2 Meine Ideen: Als Bedingungen ergeben sich nun folgende, wenn ich mich nicht irre: Interpolationsbedingungen 1. f1(2)=4 4 = a1*2^3 + b1*2^2 + c1*2 + d1 2. f1(4)=2 2 = a1*4^3 + b1*4^2 + c1*4 + d1 3. f2(4)=2 2 = a2*4^3 + b2*4^2 + c2*4 + d2 4. f2(8)=7 7 = a2*8^3 + b2*8^2 + c2*8 + d2 Steigung an den inneren Punkten 5. f1'(4)=f2'(4) 3*a1*4^2 + 2*b1*4 + c1 = 3*a2*4^2 + 2*b2*4 + c2 Krümmung an den inneren PUnkten 6. f1''(4)=f2''(4) 6*a1*4 + 2*b1 = 6*a2*4 + 2*b2 Randbedingungen, natürlicher Spline 7. f1''(2) = 0 6*a1*2 + 2*b2 = 0 8 f2''(8) = 0 6*a2*8 + 2*b2 = 0 Mein 1. Problem ist nun: ich möchte die Koeffizienten d1 und d2 vorgeben. Diese sind jeweils der y-Wert am Start des Polynomintervals Also noch 4 = d1 2 = d2 und die zuvor ermittelten Gleichungen (I) 4 = a1*8 + b1*4 + c1*2 + d1 (II) 2 = a1*64 + b1*16 + c1*4 + d1 (III) 2 = a2*64 + b2*16 + c2*4 + d2 (IV) 7 = a2*512 + b2*64 + c2*8 + d2 (V) 48*a1 + 8*b1 + c1 = 48*a2 + 8*b2 + c2 (VI) 24*a1 + 2*b1 = 24*a2 + 2*b2 (VII) 12*a1 + 2*b2 = 0 (VIII)48*a2 + 2*b2 = 0 Da d1 und d2 ja dann bekannt sind habe ich also 8 Gleichungen und nur noch 6 unbekannte? Ein Überprüfung z.b. auf http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/gleichungssysteme.htm führt zu keinem Ergebnis mehr. gebe ich hingegen nur die 8 Gleichungen ein, kann das System gelöste werden. Mein 2.tes Problem ist: wie schreibe ich das ganze in eine Matrix um das ganze zu lösen? gleichung (I)-(IV) und (VII)-(VIII) lassen sich ja untereinanderschreiben.: 4 8 4 2 1 2 64 16 4 1 2 64 16 4 1 7 512 64 8 1 ... ... 0 12 2 0 0 0 48 2 0 0 Aber was mache ich mit (V)+(VI)? die passen ja nicht ins Schema. Bitte helft mir - ich stehe wirklich auf dem Schlauch. Danke! Viele Grüße Philip |
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| 17.01.2012, 17:39 | Powerpp | Auf diesen Beitrag antworten » |
Das 2te Problem hat sich gelöst - habe das mit der Koeffizientenmatrix jetzt endlich verstanden. 
Habe ich nur noch das dringende Problem, dass ich d1 und d2 vorgeben möchte... |
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