Aufeinander folgende Polstellen

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17.01.2012, 13:08	little_pi	Auf diesen Beitrag antworten »
Aufeinander folgende Polstellen Meine Frage: Hallo! Ich habe einen Satz zu beweisen, bei dem es um rationale Funktionen geht. Bei einem Punkt versteh ich es nicht mehr. Da steht: Angenommen a und b seien aufeinanderfolgende Polstellen von f. Die Polstellen sind einfach, also folgt, dass f streng monoton fallend am Intervall [a,b] ist. Sie ist positiv, wenn x Werte in der Nähe von a annimmt und negativ, wenn x Werte nahe genug an b annimmt. Also beinhaltet das Intervall [a,b] genau eine Nullstelle. Meine Ideen: Was ich nicht verstehe ist: Warum muss die Funktion positiv und negativ werden? Ein Pol ist doch eine einpunktige Definitionslücke einer Funktion. Sagen wir mal ich nehme zwei Polstellen a= 1 und b=3. Die Funktion fällt in diesem Intervall zwar, aber sie befindet sich trotzdem noch über der x-Achse und die Nullstelle ist erstr bei 5 oder so. Dann gilt es doch nicht! Woher also weiß ich, dass in diesem Intervall genau eine Nullstelle liegt?? Bitte Hilfe!!
17.01.2012, 14:33	juffo-wup	Auf diesen Beitrag antworten »
Es muss noch eine Voraussetzung über f fehlen, die benutzt wird. Zum Beispiel für $\begin{eqnarray} f(x)=\frac{1}{x(1-x)} \end{eqnarray}$ stimmt die Aussage nicht:
18.01.2012, 10:39	little_pi	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Satz lautet: Sei $\begin{eqnarray} A \in M_{n} (\mathbb R ) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} c \in \mathbb R^n \end{eqnarray}$ . Wir definieren $\begin{eqnarray} f(x) = c^t (xI-A)^{-1} c \end{eqnarray}$ als rationale Funktion. Dann sind alle Nullstellen und Polstellen von f einfach und f ' ist auf dem gesamten Definitionsbereich negativ. Falls a und b aufeinander folgende Polstellen von f sind, dann enthält das geschlossene Intervall [a,b] genau eine Nullstelle von f. Beweis: Durch ein vorher bewiesenes Lemma erhält man: $\begin{eqnarray} c^t (xI-A)^{-1} c = \sum\limits_{a \in ev(A)} \frac{c^T E_{a} c }{(x-a)} \end{eqnarray}$ Daher sieht man, dass die Polstellen einfach sind. Wenn man beide Seiten der Gleichung differenziert, erhält man: $\begin{eqnarray} - c^t (xI-A)^{-2} c = \sum\limits_{a \in ev(A)} \frac{c^T E_{a} c }{(x-a)^2} \end{eqnarray}$ Also gilt: f'(x) = $\begin{eqnarray} - c^t (xI-A)^{-2} c \end{eqnarray}$ Da $\begin{eqnarray} - c^t (xI-A)^{-2} c \end{eqnarray}$ die quadratische Länge von $\begin{eqnarray} c^t (xI-A)^{-1} c \end{eqnarray}$ ist, folgt, dass f'(x) < 0, wenn x kein Pol von f ist. Das zeigt, dass jede Nullstelle von f einfach sein muss. Bis dahin ist alles ok. Aber jetzt kommt der Teil, den ich nicht mehr verstehe: Angenommen a und b sind aufeinander folgende Polstellen von f. Da die Polstellen einfach sind, folgt, dass f eine streng fallende Funktion im Intervall [a,b] ist. Sie ist positiv, wenn x Werte in der Nähe von a annimmt und negativ, wenn x Werte nahe genig an b annimmt. Daraus folgt, dass das Intervall [a,b] genau eine Nullstelle von f beinhaltet. Aber das kann ich doch so nicht sagen!! Die Polstellen können doch auch wo anders liegen!
18.01.2012, 16:51	juffo-wup	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann ist alles klar. Bei einem Pol geht der Betrag von f immer gegen unendlich. Denn es ist ja in der Nähe des Pols $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} f(x)=\frac{g(x)}{(x-x_0)} \end{eqnarray}$ wobei g bei $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ stetig ist und nicht Null wird dort. Es wurde bewiesen, dass f fallend ist. Also kommt nur in Frage, dass für jeden Pol $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ gilt : $\begin{eqnarray} \lim_{x\uparrow \!\!\! x_0}f(x)=-\infty \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \lim_{x\downarrow x_0} f(x)=\infty \end{eqnarray}$ Wegen der strengen Monotonie kann es in jedem der Intervalle eben auch nur höchstens eine Nullstelle geben.
19.01.2012, 12:44	little_pi	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann ich also sagen, dass es dazwischen eine Nullstelle geben muss, weil die eine Polstelle gegen + unendlich geht und die andere gegen -unendlich?
19.01.2012, 13:50	juffo-wup	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Polstelle geht nicht gegen irgendwas. Links von jeder Polstelle geht f gegen -unendlich und rechts davon gegen +unendlich.
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19.01.2012, 15:06	little_pi	Auf diesen Beitrag antworten »
Achja, natürlich. Aber muss es nicht umgekehrt sein, wenn die Funktion fallend ist? Links von jeder Polstelle geht f gegen +unendlich und rechts davon gegen -unendlich.
19.01.2012, 18:01	little_pi	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann mir das bitte kurz jemand beantworten?
19.01.2012, 20:51	kleines_pi	Auf diesen Beitrag antworten »
Tja ich würd auch deine Antwort logischer empfinden. Kann das jemand bestätigen?
19.01.2012, 23:50	juffo-wup	Auf diesen Beitrag antworten »
Mal dir doch mal die Funktion $\begin{eqnarray} x\mapsto \frac{1}{x} \end{eqnarray}$ auf.
20.01.2012, 05:50	mathewahnsinnige	Auf diesen Beitrag antworten »
in meinem beweis steht doch auch, dass Sie ist positiv, wenn x Werte in der Nähe von a annimmt und negativ, wenn x Werte nahe genig an b annimmt. Daraus folgt, dass das Intervall [a,b] genau eine Nullstelle von f beinhaltet. Also muss es doch zuerst gegen + unendlich und dann gegen - unendlich gehen und nicht umgekehrt oder?

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