mathematisches pendel

17.01.2012, 14:34

schädel

mathematisches pendel

Meine Frage:
Die Schwingungsgleichung für das mathematische Pendel lautet:
l \alpha^{''} + g sin(\alpha) =0
Für kleine Ausschläge kann die Gleichung linearisiert werden. Man erhält
l \alpha^{''} + g \alpha =0
mit der bekannten Lösung
\alpha = A * sin( \omega * t + \beta)

Dabei sind A und \beta Konstanten, die sich aus den Anfangsbedingungen ergeben.

Aufgabe:
1. machen sie die gleichungen geeignet dimensionslos

Meine Ideen:
das ganze steht in einem zusammenhang mit einer programmieraufgabe, aber mir fehlt es direkt am anfang, ich habe überhaupt keine ahnung wie ich da ran gehen soll um die gleichung dimensionslos zu machen. ich weiß soweit, dass das bogenmaß als m/m auf jeden fall dimensionlos ist. aber wie weiter?

17.01.2012, 15:06

Dopap

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RE: mathematisches pendel

Zitat:

Original von schädel
$\begin{eqnarray*} \alpha = A * sin( \omega * t + \beta) \end{eqnarray*}$

ich denke, dass eine Programmierbare Funktion keine Einheiten verträgt. Es gibt nicht den Zahlentyp "physikalische Grösse" wie z.B. INTEGER FLOAT WORD ...
( Ausnahme: hp-Taschenrechner ).

Richtig erkannt, dass $\begin{eqnarray*} \omega t + \beta \end{eqnarray*}$ die Dimension "Zahl" hat. Dimensionslos ist ein fragwürdiger Begriff.

Bleibt noch die Amplitude A. Da $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ offenbar ein Winkel ist, ist A auch ein Winkel.

Meiner Meinung nach besteht kein Handlungsbedarf.

18.01.2012, 11:29

Ehos

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Um die Gleichung $\begin{eqnarray*} l\tfrac{d^2\alpha}{dt^2} + g \sin(\alpha)=0 \end{eqnarray*}$ dimensionslos zu machen, führen wir anstelle der Zeit t den dimensionslosen und zeitproportionalen Parameter $\begin{eqnarray*} \tau =\sqrt{\tfrac{g}{l}}\cdot t \end{eqnarray*}$ ein. Mit dessen Hilfe definieren wir anstelle des dimensionslosen Winkels $\begin{eqnarray*} \alpha(t) \end{eqnarray*}$ die neue dimensionslose Funktion $\begin{eqnarray*} \beta(\tau)=\alpha(t) \end{eqnarray*}$ . Damit müssen wir die Ableitung $\begin{eqnarray*} \tfrac{d^2\alpha}{dt^2} \end{eqnarray*}$ durch die Ableitung $\begin{eqnarray*} \tfrac{d^2\beta}{d\tau^2} \end{eqnarray*}$ ausdrücken, also dimensionslos. Mit der Kettenregel wird die 1.Ableitung zu $\begin{eqnarray*} \tfrac{d\alpha (t)}{dt}=\tfrac{d \beta [\tau (t)]}{dt}=\tfrac{d \beta }{d \tau} \tfrac{d \tau}{dt}=\tfrac{d \beta }{d \tau} \sqrt{\tfrac{g}{l}} \end{eqnarray*}$ . Die 2.Ableitung bekommen wir analog zu $\begin{eqnarray*} \tfrac{d^2\alpha}{dt^2}=\tfrac{d^2 \beta }{d \tau^2} \tfrac{g}{l} \end{eqnarray*}$ . Setzt man diese 2.Ableitung zusammen mit der obigen Substitution $\begin{eqnarray*} \alpha(t)=\beta(\tau) \end{eqnarray*}$ in die Dgl. ein, entfallen die Konstanten l und g. (Das war der Sinn der Sache.). Übrig bleibt die dimensionslose Dgl. $\begin{eqnarray*} \tfrac{d^2\beta}{d\tau^2} + \sin(\beta)=0 \end{eqnarray*}$ . Hat man diese gelöst, muss man natürlich wieder die Rücksubstitution ausführen, um auf die "richtigen" Größen zu kommen.
-------
Rein praktisch ist dieses "Dimensionslosmachen" für numerische Rechnungen gar nicht notwendig. Man muss nur darauf achten, dass man in SI-Einheiten rechnet. Man darf also z.B. nicht Sekunden und Minuten bzw. Kilogramm und Gramm gleichzeitig verwenden usw.

18.01.2012, 12:48

Dopap

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Zitat:

Original von Ehos
... Rein praktisch ist dieses "Dimensionslosmachen" für numerische Rechnungen gar nicht notwendig. Man muss nur darauf achten, dass man in SI-Einheiten rechnet.

Das ist selbstredend , und für Winkel keine Grade.
Was für ein Aufwand! Hab' ich in Physik bisher noch nicht gesehen. Allenfalls zugeschnittene Größengleichungen, die aber mehr was für Techniker sind.
Klar, dass die Winkelgeschwindigkeit $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ eine Abkürzung für $\begin{eqnarray*} \sqrt {\frac g l} \end{eqnarray*}$ ist.

Sehr interessanter Beitrag Freude

18.01.2012, 14:00

Ehos

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Der Begriff "Winkelgeschwindigkeit" ist eigentlich nur für solche Pendel reserviert, bei denen die Schwingungsdauer nicht von der Auslenkung abhängt. Denn ursprünglich soll die Winkelgeschwindigkeit den Pendel "an sich" charakterisieren und darf deshalb nicht von den zufälligen Anfangsbedingungen abhängen. (So steht es jedenfalls bei L.D.Landau). Beim mathematischen Pendel wächst jedoch die Schwingungsdauer mit der Auslenkung. Die Lösung ist deshalb nicht formelmäßig als $\begin{eqnarray*} \sin(\omega t) \end{eqnarray*}$ darstellbar, sondern nur als Reihe.

18.01.2012, 14:09

Dopap

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war auf den linearen Schwinger gemünzt.
Kann man dich auch am Physikerboard finden?

18.01.2012, 14:29

Ehos

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Ja, aber selten.

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