Die Kreisur des Quadrates vs. die Quadratur des Kreises |
| 17.01.2012, 14:57 | Grapefruiteis | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Die Kreisur des Quadrates vs. die Quadratur des Kreises Stanzt man aus einem Kreis das größtmöglichste Quadrat, bleibt ein ein Rest x in Abhängigkeit zur Ausgangsfläche a übrig. Aus diesen Rest(en) sollen wieder die jeweils größtmöglichen Quadrate ausgestanzt werden. Wie groß ist dieser Rest nach n Schritten? Zerlegt man ein Quadrat mit exakt derselben Ausgangsfläche a nach demselben Verfahren, bleibt ebenfals ein Rest y. Wie groß ist dieser Rest nach ebenfals n Schritten? Besteht nun eine (reele) Relation zwischen beiden Flächenresten (x und y) bei gleicher Anzahl der Zerlegungen (n), wenn man von der gleichen Ursprungsfläche (a) ausgeht? Wenn ja, wie sieht es bei Körpern (Kugel/Würfel) aus- Besteht auch hier eine Realtion? Wenn ja, diesselbe oder wiederum um einen Faktor z verschoben? Lässt sich eine Vorhersage bezüglich mehrdimensionaler Körper treffen? Oder mal vereinfacht gesagt: Wenn man aus einem Kreis ein Quadrat ausschneidet bzw. umgekehrt bleibt ein Rest. Welcher Rest ist bei gleicher Fläche um wieviel größer? Ist übrigens keine Schul- oder Unifrage oder so, sondern nur eine Überlegung, aber weil ich etwas auf dem Schlauch stehe beschäftigt mich das. Man könnte es natürlich mit Papier (2-dim.) oder Knetmasse (3-dim), die man nachwiegt, testen, mich interessiert aber hier die rein mathematische Lösung, und ergoogeln lies sich die Lösung leider auch nicht. Also- bitte helft mir 
Meine Ideen: - sind gleiche Ausgangsflächen möglich? - Innenquadrat des Kreises: Kantenlänge < Durchmesser des Kreises - zeichnerisch: "Restflächen" des Kreises etwa 2* "Restflächen" des Quadrates - Zerlegungen: 1. Schritt: 1 Kreis; 2. Schritt+4 Kreise =5 gesamt ; 3. Schritt+8 =13 4. schritt +16= 29 etc.-> (n+1) = 2* wert von n (4/8/16); + n ( 5/ 13) |
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| 17.01.2012, 15:09 | René Gruber | Auf diesen Beitrag antworten » |
Da hast du dir ganz schön was aufgelanden ... Ich bleib man bei dem ersten beschriebenen Beispiel, also Quadrat aus Kreis ausschneiden: Im ersten Schritt wird das mittlere Quadrat ausgeschnitten. Im zweiten Schritt werden vier einander kongruente Quadrate aus dem Rest ausgeschnitten (siehe deine Skizze). Im dritten Schritt werden acht einander kongruente Quadrate aus dem Rest ausgeschnitten (je zwei benachbart den Quadraten der vorigen Stufe). Dummerweise geht's jetzt nicht so einach weiter - es gibt jetzt mehrere, inkongruente Stellen, wo potentiell die größten Quadrate ausgeschnitten werden können. Wo das jeweils genau ist, müssen genaue Rechnungen zeigen. Jedenfalls "fasert" der Rest immer weiter auf, die Sache wird schnell ganz übel unübersichtlich - kein Wunder, dass das keine Schul- oder Uniaufgabe ist, denn eine "schöne" oder zumindest übersichtliche Lösung dürfte kaum drin sein. |
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