Extremwert von mehrdimensionalen Funktionen

14.01.2007, 18:10

Student123456

Extremwert von mehrdimensionalen Funktionen

Hi erstmal!

Ich habe folgendes Problem.. ich beschäftige mich gerade mit Analysis bei mehrdimensionalen Funktionen. Prinzipiell n-dimensional, aber fürs erste beschränke ich mich mal auf eine begrenzte Zahl Augenzwinkern

Gegeben ist f(x,y)=-x�+12xy-y�+5000

Ich suche nun den Maximalwert der Funktion. Man kann sich den ja als Bergspitze in der 3dimensionalen Ansicht der Funktion vorstellen.. nur wie berechne ich diesen Punkt, bzw die Werte von x und y, für die die Funktion maximal wird?

Ein Lösungsweg würde mich echt weiterbringen.. ich hatte zwar den Mathe-LK, aber dieser dämliche Formalismus in Uni-Lektüre bringt einen um.. nirgendswo stehts verständich erklärt Big Laugh

Danke schonmal im Vorraus

14.01.2007, 18:12

Student123456

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Oh, mist.. jetzt ist durch das Posten der Zeichensatz irgendwie über Bord gegangen. Nochmal...

f(x,y)=-x^3+12xy-y^3+5000

14.01.2007, 20:29

Abakus

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RE: Extremwert von mehrdimensionalen Funktionen

Zitat:

Original von Student123456
Ein Lösungsweg würde mich echt weiterbringen.. ich hatte zwar den Mathe-LK, aber dieser dämliche Formalismus in Uni-Lektüre bringt einen um.. nirgendswo stehts verständich erklärt Big Laugh

Dann musst du ggf. ein Kapitel zurückgehen, weil du Lücken hast. Hier musst du zunächst die "kritischen Stellen" mithilfe des Gradienten berechnen. Diese kannst du dann auf ihre extremalen Eigenschaften untersuchen.

Grüße Abakus smile

14.01.2007, 20:38

Jener_dort

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So.. ich hab mich jetzt mal registriert.

Also, dann glaub ich weiß ich jetzt woran es hakt.. da hab ich wohl noch ordentlich was nachzuholen Big Laugh

Aber danke, ich werd mich nochmal melden sobald ich was raus hab.. morgen denke ich.

Grüße

15.01.2007, 15:38

Jener_dort

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Also.. kleine Zwischenfrage (sorry falls ich nerve *g*)

Der Gradient ist doch der Vektor der (ersten?)partiellen Ableitungen.
Nehme ich nun die besagte Funktion $\begin{eqnarray*} -x^3+12xy-y^3+5000 \end{eqnarray*}$ wären die partiellen ersten Ableitungen

fx(x,y)=-3x^2+12y
fy(x,y)=12x-3y^3

Also wäre der Gradient doch $\begin{eqnarray*} grad(f)=\begin{pmatrix} -3x^3+12y \\ 12x-3y^2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ oder?

So.. falls das nun stimmen würde, müsste ich das ganze gleich 0 setzen und hätte somit die kritischen Punkte berechnet?

15.01.2007, 15:59

Calvin

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Du hast zwar im Laufe des Textes einen Tippfehler, aber den hast du im weiteren Verlauf korrigiert. Dein Gradient so wie er da steht richtig. Auch dein Ansatz für das weitere Vorgehen ist richtig, sofern du mit 0 den Nullvektor meinst *DaBinIchKleinlich* Big Laugh

15.01.2007, 16:16

Jener_dort

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Ich habe jetzt die kritischen Punkte berechnet, bzw bin der Meinung das getan zu haben Big Laugh

Ich setze also den obigen Gradienten gleich einem Nullbektor und erhalte damit ein 2*2 Gleichungssystem
$\begin{eqnarray*} 0=-3x^2+12y \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0=12x-3y^2 \end{eqnarray*}$

umgeformt und ineinander eingesetzt ergibt sich
$\begin{eqnarray*} 12x-\frac{3}{16}x^4=0 \end{eqnarray*}$

das weiter umgeformt ergibt
$\begin{eqnarray*} x(12-\frac{3}{16}x^3)=0 \end{eqnarray*}$

Es ergibt sich x=0 sowie x=4

Eingesetzt in $\begin{eqnarray*} -3x^2+12y=0 \end{eqnarray*}$ ergeben sich für y nun ebenfalls die Werte 0 und 4.(Zur Probe habe ich auch in die 2. Gleichung die beiden Werte eingesetzt, da kommt das selbe raus).

Nun zu den kritischen Punkten.. 2 mögliche Koordinaten für jede Koordinate müssten in der Kombination ja 4 Punkte ergeben. Also wären kritische Punkte von f(x,y) bei f(0,0), f(0,4), f(4,0) sowie f(4,4).

Jetzt müsste ich nurnoch wissen, wie ich herausfinde, welcher der Punkte ein Maximalwert ist.. also einsetzen.

$\begin{eqnarray*} f(x,y)=-x^3+12xy-y^3+5000 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(0,0)= 5000 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(0,4)=-4^3+5000=4936 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(4,0)=-4^3+5000=4936 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(4,4)=-4^3+12*4*4+4^3+5000=5192 \end{eqnarray*}$

Demnach wäre bei f(4,4) das Maximum.
Stimmt denn das so alles?

Grüße

(edit: ich hab noch nen Rechenfehler raus gemacht *g*)

15.01.2007, 16:56

Calvin

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Ich sehe gerade, dass du doch ein bißchen mit den Exponenten durcheinander gekommen bist. Ich korrigiere mal dein erstes Posting und den Gradient smile

$\begin{eqnarray*} f(x,y)=-x^3+12xy-y^3+5000 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_x(x,y)=-3x^2+12y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_y(x,y)=12x-3y^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{grad}(f)=\begin{pmatrix} -3x^2+12y \\ 12x-3y^2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Auch im weiteren Verlauf hast du dich beim Aufschreiben hier im Forum vertan. Aber auf deinem Blatt ist es sicher richtig. Das sieht man an den Ergebnissen smile

Das Gleichungssystem hast du richtig gelöst, aber deine Folgerung daraus ist falsch:

Zitat:

Nun zu den kritischen Punkten.. 2 mögliche Koordinaten für jede Koordinate müssten in der Kombination ja 4 Punkte ergeben. Also wären kritische Punkte von f(x,y) bei f(0,0), f(0,4), f(4,0) sowie f(4,4).

Ist der Gradient für den Punkt P(0,4) wirklich 0? Du darfst nicht alle möglichen Kombinationen von 0 und 4 nehmen. Wenn du x=0 in die Gleichung $\begin{eqnarray*} -3x^2+12y=0 \end{eqnarray*}$ eingibst, erhälst du lediglich die Lösung y=0!

Suchst du das absolute Maximum der Funktion? Oder alle relativen Maxima? In beiden Fällen musst du mit der Hessematrix(?) überprüfen, ob es sich tatsächlich um Maxima oder "nur" um Sattelpunkte handelt.

Dafür habe ich aber jetzt keine Zeit mehr. Wenn kein anderer hilft, melde ich mich später nochmal.

15.01.2007, 17:03

Jener_dort

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Ah, klasse. Danke!

Hab auch grad gesehn, dass da oben was nicht stimmte, aber du warst schneller Big Laugh

Also.. streng genommen habe ich ein ökomisches Problem. Und zwar ist obige Funktion in dem Fall, den ich grad bearbeite die Kombination von zwei Faktormengen zur Herstellung eines Produktes. Ich suche nun jene Kombination von x und y für die der Output maximal wird.
Dazu dachte ich mir, ich müsste den Maximalwert der Funktion berechnen...

Mh.. was wären denn dann die richtigen Ergebnisse für kritische Punkte? f(0,0) und f(4,4) nur? Also, der jeweilige y-Wert für ein bestimmtes x.

Damit wäre dann also trotzdem bei f(4,4) das Maximum.. das Kombinationsverhältnis wäre 4 zu 4 bzw gekürzt 1 zu 1 und damit wären für einen maximalem Output x und y gleich anzusetzen.

Kann man das so stehen lassen?
Nochmal danke.. Du hast mir echt weitergeholfen.

15.01.2007, 18:51

Calvin

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Zitat:

Original von Jener_dort
AMh.. was wären denn dann die richtigen Ergebnisse für kritische Punkte? f(0,0) und f(4,4) nur? Also, der jeweilige y-Wert für ein bestimmtes x.

Ja, genau so ist es. An der Stelle (4,4) ist tatsächlich ein relatives Maximum (wie man mit der Hessematrix nachweisen kann). An der Stelle (0,0) ist ein Sattelpunkt.

Ich weiß nach wie vor nicht genau, was du suchst. Deine Erklärung verstehe ich nicht. Ich kann dir aber sagen, dass bei (4,4) nur ein relatives Maximum ist. Ein absolutes Maximum gibt es nicht, denn $\begin{eqnarray*} f(-n,-n)=2n^3+12n^2+5000\to\infty \text{ für } n\to\infty \end{eqnarray*}$ . Beispiel: $\begin{eqnarray*} f(-10,-10)>f(4,4) \end{eqnarray*}$

15.01.2007, 23:34

Jener_dort

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ja, das stimmt.. es geht darum, Das verhältnis von x zu y herauszufinden, für den die Funktion im ökonomischen Sinn "optimal" ist.. der Output also im Besten Verhältnis zum Input steht. Diese Punkte liegen alle auf der selben (eindimensionalen) Funktion, die ein Teil der mehrdimensionalen Funktion ist.

Wenn man die obige Funktion nimmt, und x=y setzt hätte man jene Funktion mit optimalem Output.. es müssten alle Maximalwerte auf ihr liegen.

Grüße

07.08.2011, 20:57

TruEnemy

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Könnte man zusammenfassend also folgendes Schema aufstellen:

f(x,y) partiell nach x bzw. y ableiten,
transponierte Jacobi- Matrix J_f(x,y)^T = grad(f(x,y) aufstellen,
diese mit dem Nullvektor (0,0)^T gleichsetzen,
die so erhaltenen Gleichungen lösen,
um die kritischen Punkte zu erhalten

Die Hesse- Matrix H_f(x,y) aufstellen,
die kritischen Punkte einsetzen,
auf Definitheit prüfen.

?

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