Eigenwert von A => g(Eigenwert) = ein Eigenwert von g(A)

17.01.2012, 17:04	ven000m	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenwert von A => g(Eigenwert) = ein Eigenwert von g(A) Hey, ich habe eine Frage zum Thema Eigenwerte, da ich in der Boardsuche nichts passendes gefunden habe. Aufgabe: Sei $\begin{eqnarray} A \in M_{n}(K) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g\in K_{n}[X] \end{eqnarray}$ sei ein Polynom vom Grade $\begin{eqnarray} m\geq 1. \end{eqnarray}$ a)Zeige: Ist $\begin{eqnarray} \lambda \in K \end{eqnarray}$ ein Eigenwert von A, so ist $\begin{eqnarray} g(\lambda) \end{eqnarray}$ ein Eigenwert von g(A). b)Es werde vorausgesetzt, dass K ein Teilkörper von C(komplexen Zahlen) ist. Ist dann jeder Eigenwert $\begin{eqnarray} Mueh \in K \end{eqnarray}$ von g(A) von der Form $\begin{eqnarray} Mueh = g(\lambda) \end{eqnarray}$ für einen Eigenwert $\begin{eqnarray} \lambda \in C \end{eqnarray}$ von A? Ansatz a): Ich habe mir überlegt, dass die Gleichung $\begin{eqnarray} (A-\lambda E)x = 0 \end{eqnarray}$ gelten muss, dann hab ich die Formel nach $\begin{eqnarray} \lambda = \frac{Ax}{Ex} \end{eqnarray}$ und nach $\begin{eqnarray} A = \frac{\lambda Ex}{x} \end{eqnarray}$ umgeformt. Nun kann man ja $\begin{eqnarray} g(\lambda) \end{eqnarray*}$ irgendwie bestimmen und zeigen, dass es ein Eigenwert von g(A) ist, aber ich weiß nicht wie man jetzt weiter macht oder ob das überhaupt der richtige Ansatz ist. Danke schon einmal im voraus.
17.01.2012, 18:42	galoisseinbruder	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, ich muss dich wohl erstmal schocken: Was du im Ansatz machst ist grober Unfug. Man kann keine Vektoren im $\begin{eqnarray} K^n \end{eqnarray}$ durch andere Vektoren teilen. Vektoren kann man nur addieren und Skalar-multiplizieren. Was du dich hier zuerst fragen solltest ist: Wie sieht g(A) eigentlich aus?
17.01.2012, 19:13	ven000m	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke schon einmal für deine Antwort. Ok danke, da hätte ich auch selbst drauf kommen können. Also ich habe mir dazu auch schon Gedanken gemacht, aber ich habe leider keine Idee und in den Skripten finde ich leider auch nichts, was mir dabei helfen könnte. Vielleicht kannst du mir einen Ansatz geben.
17.01.2012, 19:17	galoisseinbruder	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie sieht ein allgemeines g, also ein Polynom, aus? Ersatze nun die Variable mit A. Wende darauf einen Eigenvektor x zum Eigenwert $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ an
17.01.2012, 19:40	ven000m	Auf diesen Beitrag antworten »
also ein allgemeines Polynom sieht ja so aus: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{i=1}^n a_{i} x^{i} \end{eqnarray}$ Nun ersetze ich die Variable x mit A also: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{i=1}^n a_{i} A^{i} \end{eqnarray}$ Nun wende ich einen Eigenvektor x zum Eigenwert \lambda an: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{i=1}^n a_{i} ((A-\lambda E)x)^{i} \end{eqnarray}$ sorry wenn ich mich ein bisschen blöd anstelle, aber ich kann damit leider nichts anfangen.
17.01.2012, 19:47	galoisseinbruder	Auf diesen Beitrag antworten »
g(A) ist richtig. Was das $\begin{eqnarray} \sum\limits_{i=1}^n a_{i} ((A-\lambda E)x)^{i} \end{eqnarray}$ sein soll ist mir nicht klar. Das charakteristische Polynom von g(A) ist $\begin{eqnarray} g(A)-\lambda E \end{eqnarray}$ , das sieht anders aus. Was ich meinte: Berechne g(A)x . Überlege dir dazu was $\begin{eqnarray} A^n x=A^{n-1}Ax \end{eqnarray}$ ist, wenn wir $\begin{eqnarray} Ax= \lambda x \end{eqnarray}$ haben. (es ist ein skalares Vielfaches von x)
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