Maximum Likelihood bei Schmetterlingen

17.01.2012, 17:21	Hercules	Auf diesen Beitrag antworten »
Maximum Likelihood bei Schmetterlingen Meine Frage: Hallo all, beim Üben bin ich im Georgii auf eine Aufgabe gestoßen, die nicht so recht klappen will. Also: Von einer Schmetterlingsart gebe es drei Varianten 1,2,3 in den genotypischen Proportionen $\begin{eqnarray} <br /> p_{1}=a^{2}, p_{2}=2a(1-a), p_{3}=(1-a)^{2} ; 0\leq a\leq 1.<br /> \end{eqnarray}$ Unter n gefangenen Schmetterlingen dieser Art beobachten Sie $\begin{eqnarray} n_{i} \end{eqnarray}$ Exemplare der Sorte i. Bestimmen Sie den Maximum-Likelihood Schätzer T für a. Meine Ideen: Also, den für den MLS muss ich ja die Likelihood-Funktion maximieren. Die Likelihoodfunktion ergibt sich wiederum aus der vorliegenden Verteilung. Ich gehe davon aus, dass die gefangenen Schmetterlinge unabhängig voneinander eingefangen wurden. Ich habe jedoch schon beim Aufstellen der Verteilung Probleme: Also: die Wkt für $\begin{eqnarray} n_{1} \end{eqnarray}$ Schmetterlinge der Sorte 1 ist doch: $\begin{eqnarray} (a^{2})^{n_{1}} \end{eqnarray}$ Oder denke ich hier schon falsch? Falls meine Idee richtig ist, dann ergibt sich die Likelihoodfunktion L doch als: $\begin{eqnarray} L = (a^{2})^{n_{1}} (2a-2a^{2})^{n_{2}} * ((1-a)^{2})^{n_{3}} \end{eqnarray*}$ Das kommt mir etwas komisch vor... Falls es doch richtig sein sollte - wie geht's weiter? Falls nicht - wie geht's richtig? Danke euch!!! PS: Selbstverständlich nirgendwo sonst gepostet!
17.01.2012, 18:11	Black	Auf diesen Beitrag antworten »
Soweit ist alles richtig. Fasse nun die Likelihoodfunktion als Funktion des zu schätzenden Parameters a auf, und such das Maximum der Funktion
17.01.2012, 18:42	Hercules	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, danke schonmal. Ich habe das ausgeführt und kommen dann auf Folgendes: $\begin{eqnarray} <br /> L = (a^{2})^{n_{1}}(2a-2a^{2})^{n_{2}}((1-a)^{2})^{n_{3}}<br /> <br /> => L_{log} = n_{1}log(a^{2}) + n_{2}log(2a-2a^{2}) + n_{3}log((1-a)^{2})<br /> \end{eqnarray}$ dann Ausmultiplizieren und Ableiten nach a Dann ergibt sich bei mir die Bedingung: $\begin{eqnarray} <br /> \frac{2n_{1}+n_{2}}{a} + \frac{n_{2}+2n_{3}}{1-a} = ^{!} 0 <br /> <br /> => a = \frac{-n_{1}-\frac{n_{2}}{2} }{n_{3}-n_{1}} <br /> \end{eqnarray*}$ Dann wäre a negativ, was aber laut Voraussetzung nicht geht. @Black: Sicher, dass meine Schritte oben richtig waren? Ich hatte noch die Idee mit Multinomialverteilung zu arbeiten... Danke schon mal!
17.01.2012, 19:56	Black	Auf diesen Beitrag antworten »
Mir scheint dass du dich beim Ableiten vertan hast, beim Nachrechnen komm ich auf einen anderen Wert für a.
17.01.2012, 20:35	Hercules	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, du hast recht! Ich komme nach (mehrmaligem) Versuch jetzt auf a=1 zur Maximierung der log-Likelihood Funktion. Das klingt zumindest so, als könnte es richtig sein. So, jetzt hab ich Hunger! Schönen Abend euch

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