Partielle Integration sinh(x)*cos(x)

17.01.2012, 18:35

Daniel3

Partielle Integration sinh(x)*cos(x)

Hallo,

bin gerade dabei folgendes zu integrieren:

$\begin{eqnarray*} \int \! \sinh(x) \cos(x) \, dx \end{eqnarray*}$

Mit partieller Integration komme ich soweit:

$\begin{eqnarray*} F(x)=\cos(x) \sinh(x) - \int \! -\sin(x) \sinh(x) \, dx \end{eqnarray*}$

Aber wie behandle ich nun das Integral am Ende? Wie integriere ich das?

Gruß

Daniel

17.01.2012, 18:42

Mulder

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RE: Partielle Integration sinh(x)*cos(x)

Zitat:

Original von Daniel3
Mit partieller Integration komme ich soweit:

$\begin{eqnarray*} F(x)=\cos(x) \sinh(x) - \int \! -\sin(x) \sinh(x) \, dx \end{eqnarray*}$

Da solltest du mal näher erläutern, wie du dazu gekommen bist. Richtig ist das nicht.

Jedenfalls musst du hier einfach zweimal partiell integrieren. Dann sollte sich was machen lassen.

17.01.2012, 20:55

Daniel3

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Sollte es eher so aussehen:

$\begin{eqnarray*} \int \! \cos(x) \sinh(x) \, dx =\sin(x) \sinh(x) - \int \! \sin(x) \cosh(x) \, dx \end{eqnarray*}$

Und dann das Integral am Ende wieder mit partieller Integration auflösen?

Edit: Vorzeichen korrigiert

17.01.2012, 21:01

Mulder

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Zitat:

Original von Daniel3
Und dann das Integral am Ende wieder mit partieller Integration auflösen?

Ja.

17.01.2012, 23:06

Daniel3

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Wenn ich dann aber wieder partiell integriere, stehe ich am Ende wieder vor dem selben Problem und muss $\begin{eqnarray*} \cosh(x) \sin(x) \end{eqnarray*}$ integrieren. Was mache ich falsch?

17.01.2012, 23:10

stevius

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Du integrierst das nochmal auf die gleiche Weise, dann steht am Ende wieder das ursprüngliche Integral da und du kannst auf beiden Seiten das subtrahieren.

edit: $\begin{eqnarray*} \int cos x * sinh x = sinh x * cos x = cos x * cosh x - \int -sin x * cosh x = cos x * cosh x + sin x * sinh x - \int cos x * sinh x \end{eqnarray*}$

Also $\begin{eqnarray*} \int cos x * sinh x = cos x * cosh x + sin x * sinh x - \int cos x * sinh x \end{eqnarray*}$

Jetzt schau dir mal beide Seiten genau an!

18.01.2012, 17:08

Daniel3

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Zitat:

Original von stevius
Du integrierst das nochmal auf die gleiche Weise, dann steht am Ende wieder das ursprüngliche Integral da und du kannst auf beiden Seiten das subtrahieren.

edit: $\begin{eqnarray*} \int cos x * sinh x = sinh x * cos x = cos x * cosh x - \int -sin x * cosh x = cos x * cosh x + sin x * sinh x - \int cos x * sinh x \end{eqnarray*}$

Also $\begin{eqnarray*} \int cos x * sinh x = cos x * cosh x + sin x * sinh x - \int cos x * sinh x \end{eqnarray*}$

Jetzt schau dir mal beide Seiten genau an!

Ich bin etwas verwirrt. Wie kommst du in der ersten Zeile auf das, was hinter dem letzten = steht und was soll dann die zweite Zeile darstellen?

18.01.2012, 17:46

stevius

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Zitat:

Original von Daniel3

Zitat:

Original von stevius
$\begin{eqnarray*} \int cos x * sinh x = cos x * cosh x - \int -sin x * cosh x = cos x * cosh x + sin x * sinh x - \int cos x * sinh x \end{eqnarray*}$

Also $\begin{eqnarray*} \int cos x * sinh x = cos x * cosh x + sin x * sinh x - \int cos x * sinh x \end{eqnarray*}$

Ich bin etwas verwirrt. Wie kommst du in der ersten Zeile auf das, was hinter dem letzten = steht und was soll dann die zweite Zeile darstellen?

Hinter dem letzten "="?

Also $\begin{eqnarray*} \int cos x * sinh x = cos x * cosh x - \int -sin x * cosh x \end{eqnarray*}$

Partiell integrieren geht ja:

$\begin{eqnarray*} \int u(x) * v'(x) = u(x) * v(x) - \int u'(x) * v(x) \end{eqnarray*}$

Ich wähle u = cos x, und v' = sinh x -> u' = -sin x und v = cosh x, und wenn ich einsetze erhalte ich $\begin{eqnarray*} cos x * cosh x - \int -sin x * cosh x \end{eqnarray*}$ . Das nun letzte Integral nochmal auf die Weise (genau das selbe Prinzip!) integrieren, dann kommst du auf die Zeile die ich gestern gepostet habe.

Viel Glück!

18.01.2012, 18:50

Daniel3

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Ist die Lösung $\begin{eqnarray*} \int \frac{cos x * cosh x + sin x * sinh x}{2} \end{eqnarray*}$ ?

18.01.2012, 22:27

stevius

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Genau, das Integralzeichen muss aber natürlich noch weg ;-).

Du kannst dir auf diversen Webseiten auch Integrale berechnen lassen, zum üben mach ich das immer um zu wissen ob das gestimmt hat smile

18.01.2012, 22:34

Daniel3

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Ach ja klar, das Integralzeichen muss natürlich weg.

Vielen Dank für die Hilfe Freude

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