Prüfung auf komplexe Differenzierbarkeit und Holomorphie mit konjungiert Komplex

17.01.2012, 19:29

Komplexius

Prüfung auf komplexe Differenzierbarkeit und Holomorphie mit konjungiert Komplex

Hallo sitze an folgender Aufgabe und komme nicht weiter:

Gegen sei die Funktion $\begin{eqnarray*} f: \mathbb C \supseteq D \rightarrow \mathbb C \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(z)= \frac{z}{\bar{z} - Re(z)} \end{eqnarray*}$

An welchen Stellen $\begin{eqnarray*} z_0 \in D \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ differenzierbar? Ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ holomorph?

Man muss ja schauen, ob ein Grenzwert für folgendes existiert:

$\begin{eqnarray*} lim_{z \to z_0} \frac{f(z)-f(z_0)} {z-z_0}<br /> \end{eqnarray*}$

Meine bisherigen umformungsversuche sehen wie folgt aus:

$\begin{eqnarray*} lim_{z \to z_0} \frac{\frac{z}{\bar{z} - Re(z)} - \frac{z_0}{\bar{z_0} - Re(z_0)}} {z-z_0} = lim_{z \to z_0} \frac{\frac{z}{Im(z)} - \frac{z_0}{Im(z_0)}} {z-z_0}<br /> \end{eqnarray*}$

wie bekomme ich die Imaginären Teile ausgeklammert, sodass man $\begin{eqnarray*} z-z_0 \end{eqnarray*}$ kürzen kann?

die Prüfung auf Holomorphie ist wie folgt definiert:

1. D ist offen UND 2. f in jedem Punkt von D differenzierbar.

17.01.2012, 19:49

juffo-wup

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Wenn du schon Rechenregeln für komplexe Differenzierbarkeit kennst, sollte ja klar sein, dass die Funktion genau dann differenzierbar in $\begin{eqnarray*} z_0 \end{eqnarray*}$ ist, wenn der Nenner, der übrigens gleich $\begin{eqnarray*} -iIm(z) \end{eqnarray*}$ ist, bzw. wenn $\begin{eqnarray*} Im(z) \end{eqnarray*}$ (ungleich 0 und) differenzierbar ist. Falls bekannt, könntest du hierbei mit den Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen schnell zum Ziel kommen, sonst mit der Definition.

18.01.2012, 01:07

Komplexius

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RE: Prüfung auf komplexe Differenzierbarkeit und Holomorphie mit konjungiert Komplex
Hallo juffo-wup,

danke für die schnelle Antwort!

Hier die Korrekturen eingearbeitet:

$\begin{eqnarray*} f(z)= \frac{z}{\bar{z} - Re(z)} = \frac{z}{Re(z)-j*Im(z)-Re(z)} = \frac{z}{-j*Im(z)} \end{eqnarray*}$

Mir ist das noch nicht genau klar, dass wenn der Nenner hier $\begin{eqnarray*} -j Im(z) \neq 0 \end{eqnarray*}$ ist die Funktion differenzierbar in $\begin{eqnarray*} z_0 \end{eqnarray*}$ ist.

Habe wahrscheinlich gerade einen Hänger...

Cauchy-Riemannsche Differentialgleichung ist ein Stichwort, ist mir sie bloß noch nicht ganz so geläufig... Ich dachte, dass ich die C-R DGL erst verwenden kann, wenn nachgewiesen wurde, dass $\begin{eqnarray*} z_0 \end{eqnarray*}$ komplex differenzierbar ist.

Das ist die Definition der Cauchy-Riemansche Differentialgleichung:

Ist f in $\begin{eqnarray*} <br /> z_0=x_0+j y_0 \in D \end{eqnarray*}$ komplex differenzierbar, so sind u und v in $\begin{eqnarray*} x_0,y_0 \end{eqnarray*}$ partiell differenzierbar und es ist $\begin{eqnarray*} u_x(x_0,y,0)=v_y(x_0,y_0) , u_y(x_0,y_0)= - v_x(x_0,y_0) \end{eqnarray*}$

Das bedeutet für diesen Fall sollte man die Funktion in Real und Imaginärteil auftrennen.

Sodass man erhält:

$\begin{eqnarray*} \frac{x+j*y}{x-j*y-x}=-1+j*\frac{x}{y} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u(x,y) = -1 ; v(x,y)=\frac{x}{y} \end{eqnarray*}$

Ableitungen des Realteils:
$\begin{eqnarray*} u_x(x,y)=0 , u_y(x,y)=0 \end{eqnarray*}$

Ableitungen des Imaginärteils
$\begin{eqnarray*} v_x(x,y)=\frac{1}{y} , v_y(x,y)=\frac{-x}{y^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=-\frac{x}{y^2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 0=-\frac{1}{y} \end{eqnarray*}$

kann ich daraus schlussfolgern, dass die Funktion f(z) nicht komplex differenzierbar ist, da es kein y gibt für den der zweite Term null wird?!?

Irgendwas passt nocht nicht...

Danke für Hinweise...

18.01.2012, 01:30

juffo-wup

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RE: Prüfung auf komplexe Differenzierbarkeit und Holomorphie mit konjungiert Komplex

Zitat:

Original von Komplexius
Mir ist das noch nicht genau klar, dass wenn der Nenner hier $\begin{eqnarray*} -j Im(z) \neq 0 \end{eqnarray*}$ ist die Funktion differenzierbar in $\begin{eqnarray*} z_0 \end{eqnarray*}$ ist.

Das ist auch nicht wahr. Vielleicht hätte ich das nicht so kurz fassen sollen, aber ich sagte "wenn der Nenner..(ungleich 0 und) differenzierbar ist". Du kennst doch sicher die Regeln, die sagen, dass Produkte von hol. Funktionen hol. sind und Quotienten, wenn der Nenner keine Nullstelle hat usw. Eben die Ableitungsregeln für Grundrechenarten. Das kann man hier anwenden: Wenn $\begin{eqnarray*} \frac{z}{-iIm(z)} \end{eqnarray*}$ bei $\begin{eqnarray*} z_0 \end{eqnarray*}$ differenzierbar ist, dann auch $\begin{eqnarray*} \frac{-iIm(z)}{z} \end{eqnarray*}$ und dann, weil $\begin{eqnarray*} z\mapsto z \end{eqnarray*}$ differenzierbar ist, auch $\begin{eqnarray*} -iIm(z). \end{eqnarray*}$ So ähnlich folgt auch aus der Differenzierbarkeit von $\begin{eqnarray*} -iIm(z) \end{eqnarray*}$ bei $\begin{eqnarray*} z_0 \end{eqnarray*}$ die Differenzierbarkeit von $\begin{eqnarray*} f(z) \end{eqnarray*}$ bei $\begin{eqnarray*} z_0. \end{eqnarray*}$ Und natürlich ist $\begin{eqnarray*} -iIm(z) \end{eqnarray*}$ genau dort differenzierbar, wo $\begin{eqnarray*} Im(z) \end{eqnarray*}$ es ist.

Zitat:

Cauchy-Riemannsche Differentialgleichung ist ein Stichwort, ist mir sie bloß noch nicht ganz so geläufig... Ich dachte, dass ich die C-R DGL erst verwenden kann, wenn nachgewiesen wurde, dass $\begin{eqnarray*} z_0 \end{eqnarray*}$ komplex differenzierbar ist.

Die CR DGLs sind für eine reell differenzierbare Funktion ein Kriterium, das äquivalent zur komplexen Differenzierbarkeit ist. Man kann also aus Erfülltheit der DGLs komplexe Differenzierbarkeit schließen und aus Nichterfülltheit, dass die Differenzierbarkeit nicht vorliegt.

Ich meinte eigentlich, dass es für das Prüfen der Differenzierbarkeit von $\begin{eqnarray*} Im(z) \end{eqnarray*}$ das Einfachste ist es über diese DGLs zu machen. Für die ursprüngliche Funktion direkt wird es wieder etwas komplizierter (aber nicht viel wie man ja sieht).

Zitat:

Ist f in $\begin{eqnarray*} <br /> z_0=x_0+j y_0 \in D \end{eqnarray*}$ komplex differenzierbar, so sind u und v in $\begin{eqnarray*} x_0,y_0 \end{eqnarray*}$ partiell differenzierbar und es ist $\begin{eqnarray*} u_x(x_0,y,0)=v_y(x_0,y_0) , u_y(x_0,y_0)= - v_x(x_0,y_0) \end{eqnarray*}$

Das bedeutet für diesen Fall sollte man die Funktion in Real und Imaginärteil auftrennen.

Sodass man erhält:

$\begin{eqnarray*} \frac{x+j*y}{x-j*y-x}=-1+j*\frac{x}{y} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u(x,y) = -1 ; v(x,y)=\frac{x}{y} \end{eqnarray*}$

Ableitungen des Realteils:
$\begin{eqnarray*} u_x(x,y)=0 , u_y(x,y)=0 \end{eqnarray*}$

Ableitungen des Imaginärteils
$\begin{eqnarray*} v_x(x,y)=\frac{1}{y} , v_y(x,y)=\frac{-x}{y^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=-\frac{x}{y^2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 0=-\frac{1}{y} \end{eqnarray*}$

kann ich daraus schlussfolgern, dass die Funktion f(z) nicht komplex differenzierbar ist, da es kein y gibt für den der zweite Term null wird?!?

Irgendwas passt nocht nicht...

Doch, das ist vollkommen richtig. Damit hast du die Aufgabe jetzt auch schon auf diesem Weg gelöst.

22.01.2012, 20:35

Komplexius

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RE: Prüfung auf komplexe Differenzierbarkeit und Holomorphie mit konjungiert Komplex
Hallo,

wollte mich nochmal bedanken. Habe es nicht eher geschafft. Bin schon wieder mit den nächsten Aufgaben beschäftigt...

Grüße

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