Deine Meinung zu meinem Beweis

17.01.2012, 21:13

ganzruhig

Deine Meinung zu meinem Beweis

Hallo, und danke für deine Zeit!

Aufgabe:

Beweisen Sie: Sei f : [a,b] -> R stetig und überall nicht-negativ. Dann gilt

$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! f(x) \, dx = 0 \Leftarrow\Rightarrow fur alle X \in [a,b] : f(x)=0 \end{eqnarray*}$

"=>" Richtung:
$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! f(x) \, dx = F(b) - F(a) = f(x)|x-x_0| \end{eqnarray*}$ , x->x_0

Da $\begin{eqnarray*} \int_a^b \! f(x) \, dx = 0 \end{eqnarray*}$ => F(b)-F(a) = 0 äquivalenzzeichen F(a)=F(b) und da f stetig ist und NICHT-negativ ist folgt a=b => x ist element von [a,b]=[a,a]=[b,b] also auch x=a=b

$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! f(x) \, dx = 0 \end{eqnarray*}$ und somit f(x)|x-x_0|=0 ,da aber |x-x_0| > 0 ist folgt dass f(x)=0 ist, da aber x=a=b => für alle x element [a,b] : f(x)=0

was ist so falsch?

"<=" Richtung wurde mir aber anerkannt, nach dem ähnlichen Prinzip..

Bitte um Ratschlag! Ich möchte endlich lernen formal saubere Beweise zu führen..

17.01.2012, 21:27

galoisseinbruder

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Hallo,

Zitat:

was ist so falsch?

Ziemlich vieles:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! f(x) \, dx = F(b) - F(a) = f(x)|x-x_0| \end{eqnarray*}$ , x->x_0

Was soll das letzte heißen, was ist überhaupt x und $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ . Alle neuen Variablen müssen definiert werden, sonst kann man/dein korrektor höchstens raten was du meinst.
Außerdem fehlt mir eine Begründung für die Gleichheiten.

Zitat:

f stetig ist und NICHT-negativ ist folgt a=b

Ein großes wieso? Außerdem ist es falsch, da nach Angabe a,b irgendwelche reelle Zahlen. großer Widerspruch. Was soll die Großschreibung übrigens?

Zitat:

f(x)|x-x_0|=0 ,da aber |x-x_0| > 0 ist folgt dass f(x)=0 ist, da aber x=a=b => für alle x element [a,b] : f(x)=0

Hier ist mein Problem: Einmal steht x für irgendein festes Element, dann wieder für alle.

17.01.2012, 21:43

ganzruhig

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Zitat:

Das letzte heißt, dass x gegen x_0 läuft, bzw auch anderesrum, wir können Integral auf zweiweisen berechnen, einmal ich nehme Differenz der stammfunktionen auf diesen Intervallen und sonst geht das wir rechtecke aufsummieren, |x-x_0| ist ja eine metrik, da x -> x_0 läuft, ist das wie aufsummiren der linien. Wie hätte ich das begründen sollen?

Zitat:

Ein großes wieso? Außerdem ist es falsch, da nach Angabe a,b irgendwelche reelle Zahlen. großer Widerspruch. Was soll die Großschreibung übrigens?

mit großschreibung wollte ich nur daraufhinweisen, ich habe es mir ja folgendermaßen vorgestellt:
wenn f(x) stetig ist, und sein graph also komplett über der x achse liegt bzw auf [a,b] und dabei die fläche unter dem graphen 0 ist.. bin ich zum entschluss gekommen, dass a=b ist..

Zitat:

Hier ist mein Problem: Einmal steht x für irgendein festes Element, dann wieder für alle.

ich musste halt am ende die rechte Seite der Äquivalenz zeigen, und da ich weiß dass metrik > 0 ist, muss f(x) = 0 sein, und da ich wusste dass mein intervall für mich eigentlich eine konkrete Zahl war, aber ich liege ja falsch, schrieb ich einfach dass das für alle x gilt

Kannst du mir bitte sagen, wie ich die "=>" Richtung richtig beweise?

17.01.2012, 22:07

galoisseinbruder

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Zitat:

Du überliest meine entscheidende Kritik: Was ist $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , was ist $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ ?
Du hast nirgends erklärt was diese sein sollen. Ohne das ist es sehr schwer bis unmöglich nachzuvollziehen was du zu tun gedenkst.

Zitat:

mit großschreibung wollte ich nur daraufhinweisen, ich habe es mir ja folgendermaßen vorgestellt: wenn f(x) stetig ist, und sein graph also komplett über der x achse liegt bzw auf [a,b] und dabei die fläche unter dem graphen 0 ist.. bin ich zum entschluss gekommen, dass a=b ist..

Schlüsse müssen durch Sprache klar werden nicht durch Großschreibung/farbe oder ähnliches.
Und nochmal: Du musst alle deine Schritte begründen können.
Du stellt sich mir hier wieder die Frage: Wie bist du zu dem entschluss gekommen?

Zitat:

Kannst du mir bitte sagen, wie ich die "=>" Richtung richtig beweise?

Du hast die Aufgabe doch schon korrigiert zurückgekriegt. Dann sollte du doch auch eine Lösung aus der Übung haben.

17.01.2012, 23:34

ganzruhig

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nach etwas längerem nachdenken, sehe ich ein wie schrecklich mein beweis ist.. peinlich -.-

Hör mal galoisseinbruder, wäre diese Variante nummer 2 einiger massen in Ordnung?

Beweis:

Ich übernehme den alten beweis bis hier hin F(b) = F(a). Da ich weiß dass f(x) stetig und nicht negativ auf [a,b] ist folgt somit, dass F(x) eine monoton steigende Funktion ist, d.h. sei im intervall [a,b] b>a vorausgesetzt, so ist F(b)>=F(a), da aber F(b) = F(a) ist auf ganz [a,b] kann ich schlussfolgern, dass F eine konstante Funktion ist. Ableitung so einer funktion wäre 0, weil steigung einer Konstante übel all gleich ist (dem Null), diese Ableitung ist aber unteranderem unsere funktion f(x) woraus folgt, dass f(x) auf ganz [a,b] gleich 0 ist.

ich glaube der beweis ist richtig, nur es konnte ihm an formalität mangeln, da ich so gut wie nur text habe.. dein feedback?

18.01.2012, 14:05

galoisseinbruder

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Prinzipiell finde ich den Beweis in dieser Form gut. Ein Beweis wird zwar formaler wenn man möglichst viele Symbole verwendet, aber nicht verständlicher. Es ist daher sinnvoll Fließtext zu verwenden. Ich würde das hier mit weniger Text machen (weil´s dann kürzer zu schreiben ist).
Inhaltlich sehe ich keinen Fehler.
Was du dir noch angewöhnen solltest ist Sätze zitieren, z.B.
$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! f(x) \, dx = F(b) - F(a) \end{eqnarray*}$ nach HDI (oder das gern genommene: nach Vorlesung)
denn dann ist klar warum das gilt und auch die Bennennung wird in diesem Fall klar.

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