Extrem- und Wendepunkte einer speziellen e-Funktion

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17.01.2012, 21:36	blu3.Eye	Auf diesen Beitrag antworten »
Extrem- und Wendepunkte einer speziellen e-Funktion Guten Abend. Das ist die Funktion: $\begin{eqnarray} f(x) = e^{-x}(-x-4) \end{eqnarray}$ Um die Extrem- und Wendepunkte zu bestimmen muss ich erst einmal die ersten drei Ableitungen bilden. 1. Soweit ich weiß ist e hoch irgendetwas abgeleitet e hoch irgendetwas und das x in der Klammer müsste wegfallen also: $\begin{eqnarray} f'(x) = e^{-x}(-1-4) \end{eqnarray}$ Bin mir aber überhaupt nicht sicher. Ich hoffe ihr könnt mir helfen
17.01.2012, 21:59	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Ableitung stimmt nicht. Beachte die Produktregel. Wenn du aber schon -1-4 schreibst, so frage ich mich, warum bei dir noch die -4 steht .
17.01.2012, 22:14	blu3.Eye	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, dass du dich meldest Equester. Okay, auf ein Neues: Ich nehme an e^{-x} ist das eine und (-x-4) das andere Produkt? u'v + uv' $\begin{eqnarray} f(x) = e^{-x}(-x-4) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f'(x) = e^{-x}(-x-4) + e^{-x}\cdot (-1) \end{eqnarray}$ So?
17.01.2012, 22:19	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Untersuche nochmals $\begin{eqnarray} u'=(e^{-x})' \end{eqnarray}$ Sonst aber ists richtig .
17.01.2012, 22:25	blu3.Eye	Auf diesen Beitrag antworten »
Gut Es heißt also die Ableitung von $\begin{eqnarray} e^x \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} e^x \end{eqnarray}$ . Bei $\begin{eqnarray} e^{-x} \end{eqnarray}$ ist es nicht einfach $\begin{eqnarray} e^{-x} \end{eqnarray}$ , wie ich gerade merke.. Kann ich den Exponent getrennt betrachten und ihn einfach ableiten also aus -x wird -1? Demnach: $\begin{eqnarray} f'(x) =-1 \cdot e^{-x}(-x-4) + e^{-x}\cdot (-1) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f'(x) = e^{-x}(-x-4) + e^{-x} \end{eqnarray}$ Jetzt richtig?
17.01.2012, 22:27	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja nun ist es richtig! Die Ableitung von $\begin{eqnarray} e^x \end{eqnarray}$ ist nur $\begin{eqnarray} e^x \end{eqnarray}$ weil die "innere" Ableitung einfach 1 ist . Du kannst noch vereinfachen.
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17.01.2012, 22:32	blu3.Eye	Auf diesen Beitrag antworten »
Das freut mich. Dankeschön. Ich hoffe du meinst mit vereinfachen, ausklammern :P $\begin{eqnarray} f'(x) = e^{-x}(-x-4 +1) \end{eqnarray}$ ?
17.01.2012, 22:35	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah stimmt, du hattest oben noch einen Fehler. Du hattest einfach die (-1)...weggezaubert? :P So sähe es richtig aus . $\begin{eqnarray} f'(x) =-1 \cdot e^{-x}(-x-4) + e^{-x}\cdot (-1) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f'(x) = e^{-x}(x+4) - e^{-x} \end{eqnarray}$ Und das lässt sich jetzt in einem weiteren Schritt verarbeiten. Du bist den Schritt eigentlich schon gegangen (mit dem falschen Zwischenergebnis) .
17.01.2012, 22:41	blu3.Eye	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh, ich hatte einfach die -1 mit der anderen -1 multipliziert und dachte die würden damit wegfallen. Ist nun das Stichwort ausklammern? $\begin{eqnarray} f'(x) = e^{-x}(x+4-1) \end{eqnarray}$
17.01.2012, 22:43	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Nene, das geht nicht. Wir haben ja eine Summe! Das weitere ist aber richtig. Wenn man dann noch 4-1=3 zusammenfasst, ist alles zu meiner vollsten Zufriedenheit . P.S.: Fürs erste, es geht ja noch weiter .
17.01.2012, 22:55	blu3.Eye	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah okay 2. $\begin{eqnarray} f'(x) = e^{-x}(x+3) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f''(x) = -1\cdot e^{-x}(x+3) + e^{-x} \cdot 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f''(x) = e^{-x}(-x-3) + e^{-x} \end{eqnarray}$ Hoffe das ist richtig. 3. $\begin{eqnarray} f''(x) = e^{-x}(-x-3) + e^{-x} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f'''(x) = -1 \cdot e^{-x}(-x-3) + e^{-x} \cdot -1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f'''(x) = e^{-x}(x+3) - e^{-x} \end{eqnarray}$
17.01.2012, 22:59	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine zweite Ableitung ist richtig. Vereinfache diese wie oben und wage dich erneut an die dritte. Da hast du scheins nur einmal die Produktregel angewandt, aber die zweite e-Funktion keine weitere Beachtung geschenkt .
17.01.2012, 23:12	blu3.Eye	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh ich hatte glaube ich den Summanden am Ende vergessen: 3. $\begin{eqnarray} f''(x) = e^{-x}(-x-3) + e^{-x} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f'''(x) = -1 \cdot e^{-x}(-x-3) + e^{-x} \cdot -1 + (-1) \cdot e^{-x} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f'''(x) =e^{-x}(x+3) - e^{-x} - e^{-x} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f'''(x) =e^{-x}(x+3) - 2(e^{-x}) \end{eqnarray}$
17.01.2012, 23:13	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist richtig. Ich bitte dich, aber beide Ableitungen nun noch zu vereinfachen . Wie du es bei der ersten getan hast.
17.01.2012, 23:20	blu3.Eye	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei der ersten konnte ich 4 und - 1 zu 3 vereinfachen, aber hier stehe ich auf dem Schlauch. Tut mir Leid Equester Kannst du mir bitte einen kleinen Tipp geben?
17.01.2012, 23:25	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Oben hast du doch ausgeklammert. Hier ist es haargenau das gleiche . Wo ist auf einmal das Problem?
17.01.2012, 23:34	blu3.Eye	Auf diesen Beitrag antworten »
Hatte etwas falsch vertstanden, sorry :P 2. $\begin{eqnarray} f''(x) = e^{-x}(-x-3) + e^{-x} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f''(x) = e^{-x}(-x-3 +1 ) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f''(x) = e^{-x}(-x-2) \end{eqnarray}$ 3. $\begin{eqnarray} f'''(x) =e^{-x}(x+3) - 2(e^{-x}) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f'''(x) =e^{-x}(x+3 -2) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f'''(x) =e^{-x}(x -1) \end{eqnarray}$ Extremstellen: Nun muss ich die erste Ableitung gleich Null setzten und das Ergebnis anschließend in die zweite Ableitung einsetzen? $\begin{eqnarray} f'(x) = e^{-x}(x+3) = 0 \end{eqnarray}$ Darf ich hier einfach durch $\begin{eqnarray} e^{-x} \end{eqnarray}$ teilen?
17.01.2012, 23:36	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Helf mir doch gleich nochmals...3-2=? Ja, du darfst durch die e-Funktion teilen. Du kannst voraussetzen, dass diese nie 0 wird.
17.01.2012, 23:45	blu3.Eye	Auf diesen Beitrag antworten »
Ähmm hust $\begin{eqnarray} f'''(x) =e^{-x}(x + 1) \end{eqnarray}$ Extremstellen: $\begin{eqnarray} f'(x) = e^{-x}(x+3) = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x + 3 = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x = -3 \end{eqnarray}$ Nun muss ich das in die 2.Ableitung einsetzen: $\begin{eqnarray} f''(x) = e^{-x}(-x-2) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f''(3) = e^{-3}(-3-2) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f''(3) = e^{-3}(-5) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f''(3) =-0.2489 \end{eqnarray}$ Demnach liegt ein Hochpunkt bei x = -3 vor?
17.01.2012, 23:49	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Stelle ist richtig, nicht aber deine Aussage über Art des Extremums. Erneute Kontrolle von -(-3)=?
17.01.2012, 23:58	blu3.Eye	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} f''(x) = e^{-x}(-x-2) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f''(-3) = e^{3}(3-2) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f''(-3) = e^{3}(1) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f''(-3) = e^{3} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f''(-3) =20.06 \end{eqnarray}$ Demnach liegt ein Tiefpunkt bei x = -3 vor? Wendestellen: Nun muss ich die 2.Ableitung gleich Null setzen und das x in die 3.Ableitung einsetzen: $\begin{eqnarray} f''(x) = e^{-x}(-x-2) = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -x -2 = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x = -2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f'''(x) =e^{-x}(x -1) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f'''(-2) =e^{2}(-2 -1) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f'''(-2) =e^{2}(-3) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f'''(-2) =-22.167 \end{eqnarray}$ Was weiß ich nun über die Wendestelle? Sie befindet sich bei x=-2 und y=-22 ?
18.01.2012, 00:00	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
In beiden Fällen hast du in sofern recht: Es handelt sich um die jeweils richtige Stelle und im einen Fall um ein richtigerweise um ein Minimum und im anderen Fall tatsächlich um eine Wendestelle. Du hast damit aber nur die Stelle in beiden Fällen. Du willst/brauchst aber den Punkt. Dafür setze deine Stelle in die Ausgangsfunktion ein .
18.01.2012, 00:08	blu3.Eye	Auf diesen Beitrag antworten »
Achso Extremstellen: $\begin{eqnarray} f(x) = e^{-x}(-x-4) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(-3) = e^{3}(3-4) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(-3) = e^{3}(-1) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(-3) = -20.086 \end{eqnarray}$ Minimum bei: (-3 \| -20.086) Wendestellen: $\begin{eqnarray} f(x) = e^{-x}(-x-4) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(-2) = e^{2}(2-4) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(-2) = e^{2}(-2) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(-2) = -14.778 \end{eqnarray}$ Wendestelle bei: (-2 \| -14.778)
18.01.2012, 00:11	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles richtig
18.01.2012, 00:16	blu3.Eye	Auf diesen Beitrag antworten »
Wow! Vielen Dank, Equester! Ohne dich hätte ich es nicht geschafft Einen schönen Abend noch
18.01.2012, 00:18	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja bis auf das Ausklammern kam ja das meiste von dir . Gerne und dir auch

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