Ungleichung vorteilhaft umformen

17.01.2012, 22:34

Nydam

Ungleichung vorteilhaft umformen

Hallo,
wir versuchen gerade in der Schule im Rahmen der Bestimmung von Extrema (Analysis) Ungleichungen vorteilhaft umzuformen.

1. Beispiel: f(x)=x²-3x
f'(x) = 0 => x=1,5

f(1,5) = -2,25

Jetzt soll gezeigt werden, dass f(x) > f(1,5) ist für alle xE[1,4;1,6] mit x ungleich 1.5.
Also lautet die Behauptung:
x²-3x > -2,25
= x² -3x+2,25 > 0 | binomische Formel
= (x-1,5)² > 0

Da x ungleich 1,5 ist, wird die Ungleichung auf einen Blick sofort richtig. Wie funktioniert das nun mit einer Funktion dritten Grades?

2. Beispiel: f(x)=x³-12x
f'(x) = 0 => x=2; x=-2

f(2) = -16
x³-12x > -16

Wie zeige ich jetzt bei dieser Ungleichung, dass alle Werte in der Umbegung einen größeren Wert als f(2)=-16 besitzen.

Grüße,
Nydam

17.01.2012, 22:44

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Ungleichung vorteilhaft umformen
"Der Umgebung" ist viel zu ungenau.

Worum geht es eigentlich? Die Untersuchung auf Extremstellen. Kennt ihr den Weg mit der zweiten Ableitung?

$\begin{eqnarray*} f(x)=x^3-12x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=3x^2-12 \end{eqnarray*}$

Kandidat ist also

$\begin{eqnarray*} 0=3x^2-12 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4=x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{1,2}=\pm 2 \end{eqnarray*}$

Nun soll (???) euer Weg sein, über einen VZW der ersten Ableitung zu argumentieren? Dann solltet ihr mit Hilfe der Nullstellen und er Polynomdivision diese faktorisieren. Binomische Formel ist eben nicht immer möglich, auch bei ² nicht.

17.01.2012, 22:47

Nydam

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Ungleichung vorteilhaft umformen
Ja, leider sollen wir es so machen, wobei wir schon aus der Physik den Weg der zweiten Ableitung (Krümmung) kennen...
Ich wäre froh, wenn du das mit den Nullstellen und der Polynomdivision erläutern könntest.

Grüße,
Nydam

Edit: Ich kann mich ja mal versuchen:
Bei f(x) = x³-12x ist P(0|0) eine Nullstelle. (x=0)

Nun die Polynomdivision von x³-12x / (x+0) ergibt x²-12. Nun setze ich den neuen Funktionsterm statt der Funktion dritten Grades ein?

Also statt "x³-12x > -16" habe ich nun "x²-12 > -16"?
Mir würde gerade nicht einfallen, wie ich das umzuformen habe, da wie schön erwähnt die binomische Formel nicht anwendbar ist..

Deinen Beitrag zu spät gelesen, werde ich jetzt nachholen, tut mir Leid für diesen Edit hier oben..

17.01.2012, 22:53

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Ungleichung vorteilhaft umformen
Du musst diese Information ausschlachten

$\begin{eqnarray*} 0=3x^2-12 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4=x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{1,2}=\pm 2 \end{eqnarray*}$

Du kennst doch nun also die beiden Nullstellen der ersten Ableitung. Und diese (!), nicht die Funktion, solltest du untersuchen.

1. Ableitung ist 0, Steigung fällt und steigt dann wieder => Minimum

1. Ableitung ist 0, Steigung steigt und fällt dann wieder => Maximum

Wir kommen hier sogar ohne Polynomdivision aus.

$\begin{eqnarray*} f'(x)=3x^2-12 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=3(x^2-4)=3(x+2)(x-2) \end{eqnarray*}$

Nun kannst du eine Vorzeichentabelle machen. Betrachte die Intervalle ]-00,-2[, -2, ]-2,2[, 2, ]2,+oo

Wie wechseln die Vorzeichen?

17.01.2012, 23:10

Nydam

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Ungleichung vorteilhaft umformen
Wow, vielen Dank für deine Mühe.
Laut meiner Wertetabelle ändern sich die Werte vom Positiven ab x=-2 ins Negative und ab x=+2 wieder ins Positive.

Somit wäre bei x=-2 ein lokales Maximum und bei x=2 ein lokales Minimum.

Liebe Grüße,
Nydam

..und danke für die Hilfe.. smile

17.01.2012, 23:16

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Ungleichung vorteilhaft umformen
$\begin{eqnarray*} f(x)=x^3-12x \end{eqnarray*}$

Genau so ist es. Also beachte bitte, wir arbeiten mit der ersten Ableitung.

Zitat:

1. Beispiel: f(x)=x²-3x

Hier hättet ihr erkennen können, dass es sich wegen der höchsten Potenz x² um eine Parabel handelt. Diese ist wegen des Leitkoeffizienten +1x² nach oben geöffnet, der Scheitelpunkt ist also ein Minimum.

Generell sollte man nicht mit der Funktion arbeiten. Die Ungleichung führt am Ende doch auf ein Nullstellenproblem und das ist um eine Potenz größer als bei der Ableitung. Ferner kennt man durch die Nullstellen der Ableitung (so bestimmt man ja die Kandidaten für Extremstellen) schon eine Faktorisierung der Ableitung.

Polynomdivision und Linearfaktoren sind Begriffe, die ihr auf Wikipedia mal nachlesen könnt.

18.01.2012, 11:35

René Gruber

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Nydam
2. Beispiel: f(x)=x³-12x
f'(x) = 0 => x=2; x=-2

f(2) = -16
x³-12x > -16

Wie zeige ich jetzt bei dieser Ungleichung, dass alle Werte in der Umbegung einen größeren Wert als f(2)=-16 besitzen.

Wahrscheinlich spielst du auf eine Zerlegung wie

$\begin{eqnarray*} f(x) = x^3-12x = (x^3-12x+16)-16 = (x-2)^2(x+4)-16 \end{eqnarray*}$

an: Die ermöglicht es in der Tat zu begründen, dass in einer hinreichend kleinen Umgebung von $\begin{eqnarray*} x=2 \end{eqnarray*}$ stets $\begin{eqnarray*} f(x) \geq -16 \end{eqnarray*}$ ist. Was "hinreichend klein" ist, kann man hier sogar konkret benennen, es muss nämlich lediglich $\begin{eqnarray*} x+4\geq 0 \end{eqnarray*}$ gelten, was ja für alle $\begin{eqnarray*} x\geq -4 \end{eqnarray*}$ der Fall ist.

Neue Frage »

Antworten »

Ungleichung vorteilhaft umformen

Verwandte Themen