Lineare Unabhängigkeit beweisen

18.01.2012, 01:01	steve1	Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Unabhängigkeit beweisen Hallo, sei $\begin{eqnarray} \Omega = (0,1) \times \mathbb R \end{eqnarray}$ . Ich will zeigen, dass die Vektoren $\begin{eqnarray} u_k \end{eqnarray}$ , definiert als $\begin{eqnarray} u_k(x,y):=\exp(k \pi y)\sin(k \pi x) \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} k \in \mathbb Z \end{eqnarray}$ linear unabhängig auf $\begin{eqnarray} C^2(\Omega) \end{eqnarray}$ sind. Ansatz: Sei $\begin{eqnarray} \alpha_1 \exp(k_1 \pi y)\sin(k_1\pi x)+...+ \alpha_n \exp(k_n \pi y)\sin(k_n\pi x) = 0 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} (x,y) \in \Omega \end{eqnarray}$ Es ist zu zeigen: $\begin{eqnarray} \alpha_1=...=\alpha_n=0 \end{eqnarray}$ . Mir ist klar, dass man (ähnlich wie beim Nachweis der lin. Unabhängigkeit von $\begin{eqnarray} \sin \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \cos \end{eqnarray}$ ) sukzessive herausfinden muss, dass die $\begin{eqnarray} \alpha_i \end{eqnarray}$ gleich null sind. Die Frage ist nur: Welche Punkte muss ich hier geschickterweise in die Gleichung einsetzen, damit ich Schritt für Schritt schließen kann, dass alle $\begin{eqnarray} \alpha_i \end{eqnarray}$ gleich null sind? Bei $\begin{eqnarray} \sin \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \cos \end{eqnarray}$ setze ich einmal 0 und einmal $\begin{eqnarray} \frac{\pi}{2} \end{eqnarray}$ ein und bin fertig. Hier ist es aber nicht so einfach. Gruß, steve1

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