stoch.Unabh. von Familie |
14.01.2007, 19:20 | Schmonk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
stoch.Unabh. von Familie Meine Frage: Stimmt meine Lösung? Sie ist relativ kurz und ich bin mir nicht sicher, ob ich das formal so richtig aufgeschrieben habe bzw. ob das so überhaupt geht, wie ich mir das denke. Ich habe noch ziemliche Probleme im Umgang mit Zufallsvariablen, vor allem was den korrekten Formalismus angeht. Mag jemand bitte mal drüberschauen? Ich weiß, dass es etwas Überwindung kostet, so einen langen Eintrag zu lesen, aber wo du schon bis hierhin gelesen hast, kannst du doch bitte auch noch den Rest anschauen Meine Aufgabe: Seien ein W-Raum und eine Familie (nichttrivialer) meßbarer Räume. für jedes seien und jeweils -Zufallsvariablen, derart dass gilt. Begründen sie die Äquivalenz der folgenden Aussagen: (i) Die Familie ist stochastisch unabhängig bezüglich P. (ii)Die Familie ist stochastisch unabhängig bezüglich P. Meine Lösungsidee: Sei stochastisch unabhängig Es gilt Und damit: Analog folgt die andere Implikation. Gerade bei dem Ansatz: bin ich recht unschlüssig, ob man das so hinschreiben darf. Ich denke mein Gedankengang ist nachvollziehbar, aber ist es auch richtig niedergeschrieben? Danke schon mal! Grüße! |
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14.01.2007, 19:33 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Kurze Frage: Wenn eine Zufallsgröße ist, was verstehst du dann unter der Wahrscheinlichkeit , mit der du da so eifrig rumrechnest? Ich kenne nur als symbolische Kurzform für die Verteilung von - das ist dann aber keine einfache Zahl, auch keine Wahrscheinlichkeit! |
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14.01.2007, 19:47 | Schmonk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Argh, Mist! Du hast natürlich Recht! All die Arbeit umsonst und dabei sieht es so schön aus. Ich hatte nur auf die Def für stoch. Unabhängigkeit von Familien aus der Sigma-Algebra geschaut und das einfach auf die Zufallsvariablen übertragen. Ich wusste es war zu leicht. Also muss ich so ansetzen: ist stoch. unabhängig, wenn stoch. unabhängig ist. Da taucht bei mir natürlich gleich mal die Frage auf, wie ich mir vorstellen kann. Das ist das Urbild der kompletten Sigma-Algebra und Teilmenge von ? Jetzt fehlt mir irgendwie die komplette Vorstellung bzw. eine Idee für den Beweis. Kannst du mich bitte mal sanft in die richtige Richtung stubsen? Muss ich eventuell über die Erzeuger der Sigma-Algebra gehen? |
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14.01.2007, 19:56 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Naja, statt musst du sowas wie mit -Borelmengen betrachten, wobei es da verschiedene Schreibweisen gibt: . Entscheidend ist sicherlich die Möglichkeit der Zerlegung , wobei . Dieses ist eine P-Nullmenge, wie aus den Voraussetzungen sofort folgt ... Das müsste schon erstmal weiterhelfen. EDIT - Korrektur: Statt "-Borelmengen " muss es einfach "" heißen . Der Rest vom Beitrag ist davon nicht betroffen, stimmt also ohne weitere Änderungen. |
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14.01.2007, 20:01 | Schmonk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja, ich denke schon. Danke! |
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14.01.2007, 23:54 | Schmonk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also ich habe es jetzt so gemacht: Der Rest ist dann nur noch Schreibarbeit, sofern denn jetzt der Anfang so stimmt(?). Ist das "Es existiert ein l aus K ..." richtig bei dem Schnitt der Mengen oder muss für alle in dem Schnitt der Algebren sein? Ich war mir nicht ganz sicher, aber so macht es für mich mehr Sinn. Dank, Gruß und gute Nacht |
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15.01.2007, 11:35 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Für mich macht das leider überhaupt keinen Sinn. Fangen wir mal mit an. Oben waren die noch die Sigma-Algebren zum Definitionsbereich der , jetzt verwendest du sie Zusammenhang mit dem Bildbereich der reellwertigen Zufallsgrößen??? Ich hab nicht umsonst oben von Borelmengen gesprochen, genau die sind es, die hier zu betrachten sind. Du bist also im völlig falschen Raum gelandet... Ok, ersetzen wir mal die Sigma-Algebren (bzgl. ) durch Elemente der zum Bildraum gehörenden Borel-Sigmaalgebra: Nächster Punkt: Die ganze Sache mit dem "es gibt ein ..." ist völlig rätselhaft. Du hast für jedes die Zuordnung , wie willst du die derart aufbrechen? So geht das überhaupt nicht. |
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15.01.2007, 15:54 | Schmonk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Oje, da tun sich Abgründe bei mir auf. Ich muss mir wohl erstmal noch einiges anschauen, bevor ich diese Aufgabe sinnvoll bearbeiten kann. Mir ist zB gar nicht klar, wieso du die Borelmenge verwenden willst. Woraus liest du, dass es sich um eine reelle ZV handelt? Aber mir fiel eben auch gerade auf, dass ich gar nicht so wirklich weiß, was -Zufallsvariable eigentlich bedeutet. Also ich dachte es heißt, dass eben gerade der Bildraum ist. Das mit dem Schnitt verstehe ich nun mit der Borelalgebra so: Ist die Menge aller , so dass das Bild der Zufallsvariablen in der Borel-Sigma-Algebra liegt. Somit gilt für dass dies nun alle beschreibt, von denen das Bild jeder Zufallsvariablen in der Borel-Sigma-Algebra liegt. (Vorher ging ich von verschiedenen Sigma-Algebren als Bildbereich aus und da hätte es für den Schnitt gereicht, wenn das Bild einer Zufallsvariablen im Schnitt aller Algebren liegt. Aber du sagst ist der Bildraum und es gibt ja eben nur diese eine Borel-Sigma-Algebra, was auch nicht dran ändert, wenn ich die j-mal mit sich selbst schneide.) Also würde ich jetzt so ansetzten: Entspricht das eher dem, was du meintest? Doch ich wollte jetzt nochmal anfügen, wie wir es in der Lesung definiert haben: Def :Seien ein W-Raum und eine Familie meßbarer Räume. Für jedes sei eine -Zufallsvariable auf . Dann heißt die Familie stochastisch unabhängig bezüglich P, falls die Familie stochastisch unabhängig bezüglich P ist. Ich finde da passt meine Interpretation besser hinzu. Aber ich finde ja auch, das mein Gestümpe von oben Sinn macht. Also gebe ich mal auf meine Interpretation nicht soviel Wert. Dabei fällt mir ein, dass ich dann " ist stochastisch unabhängig" zeigen muss, indem ich jede mögliche Wahl von Mengen , wobei (endl. Teilmenge von J), untersuche auf die Gültigkeit von: Hmm...wie soll das denn gehen? Ich kenne doch die konkreten Mengen gar nicht. Vielleicht finde ich ja noch ein passendes Lemma/Korollar oder einfach eine Bemerkung. Ich mache mich erstmal auf den Heimweg. Vielen vielen Dank für deine Mühe! |
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15.01.2007, 17:17 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Peinlich, da hast du wohl recht. Ok, um es ganz klar zu sagen: sind messbare Funktionen von Ok, dann also doch keine Borelmengen. Aber auch nicht , sondern für sind da innerhalb der Wahrscheinlichkeit zu betrachten. P.S.: Zum Glück bin ich bereit einen Fehler zuzugeben. Andere im Forum leider nicht. |
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15.01.2007, 17:29 | Schmonk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Puh! Ok, das leuchtet mir jetzt ein. Ich probiere mich nochmal's dran. Das mit der stoch. Unabhängigkeit von Zufallsvariablen streubt sich irgendwie dagegen, in meinen Kopf zu gelangen. Ich schreibe später mal hierhin, was ich denn dann nun raus habe. Hoffentlich klappt dann der 3. Versuch.
Eine sehr wichtige Eigenschaft, erhalte dir das. Und ich danke dir dafür, denn ich hatte mich mittlerweile gefragt, ob ich in den letzten beiden Semestern W-Theorie überhaupt etwas verstanden habe. Grüße! |
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15.01.2007, 17:44 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich sehe schon, ich bin heute nicht gut drauf (ich kann mir auch denken warum): Jedenfalls habe ich oben natürlich die Inversen vergessen: , klar. |
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15.01.2007, 17:47 | Schmonk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
War mir aufgefallen, aber ich hatte dich schon verstanden und wollte nicht noch Salz auf die Wunde streuen. |
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15.01.2007, 18:05 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Danke. Jedenfalls habe ich die Kurzanleitung oben entsprechend korrigiert, und so würde ich dir auch raten vorzugehen: Wenn du in einsetzt, dann erhältst du ja zunächst Mit etwas Umformungen gemäß üblichen Distributivgesetzen kannst du das in mit einer anderen P-Nullmenge umformen - jedenfalls gilt dann also mit Dann überlegst du dir mal kurz, warum ist; und warum aus für jedes Ereignis die Beziehung folgt - kennst du ja vielleicht schon. Damit bist du dann bei und das ist ja dann im wesentlichen auch schon alles: Zum einen kannst du das ja jetzt auch für einelementige Mengen K nutzen, also , zum anderen kannst du rechts in (*) nun das Unabhängigkeitsprodukt für die verwenden... |
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15.01.2007, 22:01 | Schmonk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Danke für diesen "Leitfaden", an dem werde ich mich versuchen langzuhangeln bzw. habe es schon versucht. Irgendwie klappt das heute von vorn bis hinten nicht. Ich glaube, ich muss mich erstmal schlafen legen. Das Wocheende war etwas zu Studiumslastig, mir raucht der Kopf. Aber nochmal zwei kleine Fragen zum Verständnis: 1) 2) Du sagst, ich solle mit auf stoch. Unabh. untersuchen. Verstehe ich dich da richtig? Nach gründlicher Lektüre meiner Lesungsmitschriften würde ich eher auf stoch. Unabhängigkeit überprüfen. Oder ist das letzlich äquivalent? Gruß! Edit: text |
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15.01.2007, 22:27 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Die eine Richtung ist richtig, die andere hingegen i.a. falsch: Betrachte doch nur mal , dann bedeutet das umgeschrieben oder anders geschrieben .
Ist richtig, aber wenn man es so schreibt, ist es kein Wunder, dass der Kopf raucht: Die in dem Satz haben jeweils unterschiedliche Bedeutung. Besser schreibt man also so: Ich hab mal die Indizes bei hier beibehalten, obwohl es hier in dieser Identität eigentlich Quatsch ist - da könnte man auch gleich kurz schreiben. |
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16.01.2007, 20:20 | Schmonk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hmm...stimmt auch wieder, aber ich bin wohl ein wenig mit der Notation überfordert, was bedeutet dann diese Notation mit den eckigen Klammern? Ich kenne nur die mit den Urbildern. Oben meintest du schon Das verstehe ich und auf Grundlage dessen, habe ich das einfach bei deinen Erklärungen versucht für mich umzudeuten. Aber wie kann ich dann oder verstehen? Und ja, mit den 's war ich etwas schlampig im aufschreiben, ich hätte ein Tilde-Zeichen drüber setzen sollen. Bezieht sich in diesem Zusammenhang dann dein "ist richtig" auf die von mir vermutete Äquvivalenz? Nochmals Danke, normalerwiese bin ich nicht so begriffsstutzig. |
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16.01.2007, 22:55 | Schmonk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich weiß, Doppelposts und "gepusche" sind unerwünscht, aber bei mir drängt langsam die Zeit. Also ich habe das jetzt verstanden, wie du das meinst und warum das alles so gilt, wie es eben gilt. Aber um das sauber aufzuschreiben bräuchte ich nur nochmal eine Erklärung/Definition von der eckigen-Klammern-Notation. Bittebittebitte. |
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16.01.2007, 23:04 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Stimmt. Ich bin auch kein Freund nicht erklärter Notationen. Deswegen hatte ich die Erklärung hier stoch.Unabh. von Familie geliefert. Diese Syntax - mit Ausnahme der eckigen Klammern - ist ja auch konform mit der üblichen Wkt-Schreibweise: ist - obwohl völlig richtig - eher selten anzutreffen, dagegen öfter. Noch krasser ist es für spezielle wie z.B. : Was sieht man häufiger: oder ? |
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16.01.2007, 23:10 | Schmonk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Die hatte ich ja auch verstanden, aber eben daraus kann ich nicht die exakte Bedeutung von und erschließen. EDIT: Oh mann... Da starre ich stundenlang auf diese Aufgabe und erst mit einer Pizza im Magen und einen Bier auf dem Tisch fällt es mir wie Schuppen von den Augen. Nunja...wer braucht schon Schlaf. Danke! (nun stimmt hoffentlich endlich alles) |
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