Eigenwerte von Potenzen

18.01.2012, 13:00	Prechti1992	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenwerte von Potenzen a) Es sei $\begin{eqnarray} A \in K^{n \times n} \end{eqnarray}$ eine diagonalisierbare Matrix. Zeigen sie das auch alle Potenzen $\begin{eqnarray} A^{p} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} p \in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ diagonalisierbar sind! b) Finden sie eine Matrix $\begin{eqnarray} B \in \mathbb{R}^{2 \times 2} \end{eqnarray}$ , so das $\begin{eqnarray} B^2 \end{eqnarray}$ über $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ diagonalisierbar ist, B jedoch nicht! c) Beweisen sie folgende Aussage: Besitzt eine Matrix $\begin{eqnarray} A^2 + A \end{eqnarray}$ den Eigenwert -1, so besitzt die Matrix $\begin{eqnarray} A^3 \end{eqnarray}$ den Eigenwert +1 Zu a) Ich kann ja A diagonalisieren, und dann potenzieren, die Potenz einer Diagonalisierten Matrix ist ja quasi nur die Diagonalspalte exponenziert... Aber das scheint mir zu einfach^^ b) Mir is klar das ich irgendwie eincharakteristisches Polynom erzeugen muss, welches nicht in linearfaktoren zerfällt c) Keine Ahnung^^
18.01.2012, 14:15	galoisseinbruder	Auf diesen Beitrag antworten »
a) Mal abgesehen davon dass der Begriff Diagonalspalte überhaupt keinen Sinn ergibt, ja der Beweis ist so simpel. b) Das ist eine Idee. Beim Suchen von Gegenbeispielen muss man etwas herumspielen und sich ein paar Beispiele anschauen. Hier gibt´s z.B. ein B mit nur 0 und 1 als Einträgen das es tut. c) Betrachte die polynome $\begin{eqnarray} X^3-1 , X^2+X+1 \end{eqnarray}$
19.01.2012, 12:06	Prechti1992	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok Die a) hab ich also gelöst, war auch richtig (habs schon bei n paar Leute nachgefragt ) Nun zur b) Kann ich einfach $\begin{eqnarray} B = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ wählen?? $\begin{eqnarray} \chi_{B}(\lambda) = \lambda^{2} + 1 \end{eqnarray}$ was ja definitiv über $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ keine Lösung besitzt... Hingegen ist aber $\begin{eqnarray} B^{2} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} \chi_{B^2}(\lambda) = (-1 -\lambda)^2 \end{eqnarray}$ was ok wäre =) und zur c) Ich hab jezt fast 24stunden drüber nachgedacht, aber verstanden hab ichs nicht^^
19.01.2012, 16:08	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Zur c) Wenn $\begin{eqnarray} A^2+A \end{eqnarray}$ den Eigenwert -1 hat, dann ist das ja gleichbedeutend damit, dass $\begin{eqnarray} A^2+A+E \end{eqnarray}$ nicht regulär ist. Wenn $\begin{eqnarray} A^3 \end{eqnarray}$ den Eigenwert 1 hat, so das ist da gleichbedeutend damit, dass $\begin{eqnarray} A^3-E \end{eqnarray}$ nicht regulär ist. Vielleicht verstehst du jetzt, was das mit den Polynomen auf sich hat. Wenn nicht, dann noch ein Wink mit dem Zaunpfahl: Ist $\begin{eqnarray} f = X^2+X+1 \end{eqnarray}$ , so ist ja $\begin{eqnarray} A^2+A+E =f(A) \end{eqnarray}$
21.01.2012, 12:56	Prechti1992	Auf diesen Beitrag antworten »
'-.- Ok das wäre mir dann klar, wie das mit den Polynomen klappt. Aber kann ich des dann einfach auf Matrizen übertragen? (ohne begründung wohlgemerkt)
21.01.2012, 13:09	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Was heißt auf Matrizen übertragen? Du brauchst natürlich noch die Aussage, dass für quadratischhe Matrizen AB genau dann regulär ist, wenn A und B beide regulär sind. Damit wir uns nicht falsch verstehen: Wie ist denn nun deine Idee diese Aufgabe zu lösen? Dann können wir schauen, wo noch Begründung nötig ist oder wo noch was falsch ist.
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22.01.2012, 13:02	Prechti1992	Auf diesen Beitrag antworten »
Mir wäre jetzt noch folgendes eingefallen, ob mir das was bringt weiß ich jetzt auch nicht^^: $\begin{eqnarray} (A^2 + A)\cdot v => A \cdot (A^2 + A) \cdot v = -A \cdot v \end{eqnarray}$

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