Abstand zweier Ebenen

18.01.2012, 13:14

Sabine03

Abstand zweier Ebenen

Meine Frage:
Hallo liebe Mathematiker!
Ich habe jeweils 3 Punkte gegeben, aus denen ich eine Ebene erstellen kann. Ich soll nun den Abstand dieser beiden parallelen Ebenen errechnen.

Wie gehe ich hier am schnellsten vor?

Meine Ideen:
Ich könnte ja ersteinmal die Parameterform aufstellen, also von den beiden Ebenen. Dann nehme ich einen Stützvektor von der Ebene1 und stelle die Ebene2 in der Hesseschen Normalenform da. Einsetzen und fertig. Aber ist dies der kürzeste Weg?

LG,

Sabine

18.01.2012, 14:20

Dopap

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auf jeden Fall brauchst du eine der Ebenen in Koordinatenform.
Wenn du den GTR benützen darft, ist ein LGS am einfachsten.

Danach mit einem der 3 anderen Punkte Abstand Punkt-Ebene mit der Hesseschen Normalenform.

18.01.2012, 14:27

Sabine03

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Wieso brauche ich auf jeden Fall die Koordinatenform? Es geht doch auch ohne, oder nicht?

18.01.2012, 14:35

Dopap

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du brauchst zumindest einen Normalenvektor mit Betrag=1.

18.01.2012, 15:09

Sabine03

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Also ich habe das nun so gemacht:

Beide Ebenen in Parameterform. Das Vektrotprodukt aus den beiden SPannvektoren von E1 gebildet.

E2 in Hessesche Normalenform gebracht. (also auch vektorprudukt gebildet).

Dann erstmal gezeigt, dass die Ebenen überhaupt parallel sind. zum schluss den stützvektor von E1 in die Hesseform eingesetzt und fertig war ich.

Geht doch so, oder? Oder gibt es einen schnelleren/einfacheren Weg?

Und dann noch etwas:

Gegeben ist die Koordinatenform $\begin{eqnarray*} |E: 8x_{1} -5x_{2} -4x_{3} =13 \end{eqnarray*}$
Unser Lehrer hat sie in einem Schritt zu
der Hesseschen Normalenform $\begin{eqnarray*} <br /> |E: \frac{1}{\sqrt{105} } [\begin{pmatrix} 8 \\ -5 \\ -4 \end{pmatrix} \cdot \vec{x} -13]=0 \end{eqnarray*}$ umgeformt. Woher der Normalenvektor bzw. der Normaleneinheitsvektor kommt, verstehe ich ja. Ich weiß nur nicht, wo die 13 herkommt bzw, wieso sie hier auftaucht und wieso die Klammersetzung so anders ist wie bei der normalen Hesseform $\begin{eqnarray*} |E: \frac{\vec{n} }{|\vec{n} |} \cdot (\vec{x} -\vec{p})=0 \end{eqnarray*}$ . Die 13 würde dann ja quasi dem p-Vektor entsprechen, aber sie ist ja ein Skalar und kein Vektor.

Wäre lieb, wenn mich mal jemand aufklären könnte Augenzwinkern

18.01.2012, 20:30

Dopap

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Zitat:

Original von Sabine03
Gegeben ist die Koordinatenform $\begin{eqnarray*} |E: 8x_{1} -5x_{2} -4x_{3} =13 \end{eqnarray*}$
Unser Lehrer hat sie in einem Schritt zu
der Hesseschen Normalenform $\begin{eqnarray*} <br /> |E: \frac{1}{\sqrt{105} } [\begin{pmatrix} 8 \\ -5 \\ -4 \end{pmatrix} \cdot \vec{x} -13]=0 \end{eqnarray*}$ umgeformt.

oder so:

$\begin{eqnarray*} |E: \frac {\begin{pmatrix} 8 \\ -5 \\ -4 \end{pmatrix} \cdot \vec{x} -13}{\sqrt {105}}=0 \end{eqnarray*}$

die 13 stand doch in der ursprünglichen Ebenendefinition. Was soll die Frage?

Aber wahrscheinlich willst du wissen, warum es die 2 Schreibfiguren

1.) Hessesche Normalenform mit "Stützvektor"
2.) Hessesche Normalenform ohne "Stützvektor"
gibt?

18.01.2012, 20:41

Sabine03

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Ich möchte wissen, wieso in der Hesseschen Normalenform eine reelle Zahl vorkommt. Das diese 13 in der Koordinatenform vorkommt und da auch irgendwie ihren Ursprung hat ist mir schon klar, aber in der HNF ist mir noch nie so eine "normale" Zahl untergelaufen (wenn man von dem Skalarprodukt, der null, mal absieht). Und wieso Muss ich das gesamte durch die Wurzel dividieren und nicht nur den Normalenvektor?

18.01.2012, 20:55

Dopap

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viele Fragen.

Der Kern der Sache: wenn ich $\begin{eqnarray*} \frac {\vec n}{|\vec n|} ( \vec x - \vec p ) =0 \end{eqnarray*}$

ausmultipliziere erhalte ich $\begin{eqnarray*} \frac {\vec n \cdot \vec x - d}{|\vec n|} =0 \end{eqnarray*}$

und d ist eine reelle Zahl und ist zugleich der Abstand der Ebene zum Ursprung.

18.01.2012, 22:20

Sabine03

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Ahhh, ja super, jetzt ist mir das klar. Also $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ wäre dann $\begin{eqnarray*} n_{1} p_{1} + n_{2} p_{2} + n_{3} p_{3} \end{eqnarray*}$ .

Die Skalarmultiplikation ist dann also auch distributiv, das war mir nicht klar, erscheint aber einleuchtend.

Aber wieso ist $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} |d| \end{eqnarray*}$ gleichzeitig auch der Abstand zum Ursprung?

18.01.2012, 22:45

Dopap

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sorry, Fehler meinerseits unglücklich

$\begin{eqnarray*} \frac d {|\vec n|} \end{eqnarray*}$ ist der Abstand zum Ursprung. Im unserem Beispiel bei der ersten Ebene dann $\begin{eqnarray*} \frac {13}{\sqrt {105}} \end{eqnarray*}$

19.01.2012, 06:56

Sabine03

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Okay, aber auch die Frage nach dem "wieso?" hier.. Augenzwinkern

19.01.2012, 09:08

Dopap

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rot = Ebene von der Seite
grün= Normalenvektor-fluchtlinie
blaues Stück = ein beliebiger Ortsvektor $\begin{eqnarray*} \vec x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec x \cdot \vec n =k \end{eqnarray*}$ = Länge (blaues Stück senkrecht auf grün projeziert) mal Länge des Normalenvektors auf Grün.

Definition des Skalarprodukts.

Wenn nun aber der Normalenvektor normiert ist, dann ist das Skalarprodukt die Länge des grünen Stücks.

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