Wasserbehälter, Gesetz von Toricelli

18.01.2012, 16:05	Csei	Auf diesen Beitrag antworten »
Wasserbehälter, Gesetz von Toricelli Hallo das ist nun mein erster Beitrag ich hoffe ich bin in der richtigen Kategorie gelandet. Ich habe letzte Woche eine Aufgabe gestellt bekommen nur leider finde ich absolut keinen weg zur Lösung. Hier ist die Aufgabe: Aus einem großen, zylinderförmigen Wasserbehälter mit einem Durchmesser von 5m, der anfangs bis zur höhe H=3m gefüllt ist, fließt am Boden durch ein kleine kreisförmige Öffnung (d=2cm) Wasser aus. De Geschwindigkeit v mit der das wasser ausströmt ,beträgt nach dem Gesetzt von Toricelli v(h) = 44,3 Wurzel h wobei die augenblickliche Höhe h in cm und v in cm/s gemessen wird. Wie lange dauert bis der Wasserspiegel von der ursprünglichen Höhe H=3m auf die hälfte 1.5 m abgesunken ist. Ich hoffe Ihr könnt mir helfen
18.01.2012, 18:22	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
du brauchst die DGL. Sei $\begin{eqnarray} Q_1 \end{eqnarray}$ der Zylinderquerschnitt und $\begin{eqnarray} Q_2 \end{eqnarray}$ den der Ausflussöffnung und $\begin{eqnarray} v_2 \end{eqnarray}$ die Geschwindigkeit des Wasserspiegels und $\begin{eqnarray} v_1 \end{eqnarray}$ die Geschwindigkeit des ausströmenden Wassers. h-Achse zeigt nach unten. Der Wasserspiegel liegt bei h=0 $\begin{eqnarray} v_2(t)=\frac {Q_2}{ Q_1} \, v_1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac {dh}{dt}=\underbrace {\frac {Q_2}{ Q_1} \cdot 44.3}_{=k}\cdot \sqrt {H-h(t)} \end{eqnarray}$ DGL die Anfangsbedingung ist $\begin{eqnarray} h(0)=H=300 \end{eqnarray}$
21.01.2012, 14:55	Csei	Auf diesen Beitrag antworten »
Im Moment Hänge ich wirklich , wie komme ich jetzt auf das h(t) , der Ansatzt hilft mir schon sehr weiter aber es ist noch schwer für mich .
21.01.2012, 16:05	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \dot x(t)=k\sqrt{H-x(t)} \end{eqnarray}$ Korrektur: Die Anfangsbedingung ist h(0)=0 Nun bin ich kein DGL Experte, wichtig ist erst mal, wie man auf die DGL kommt. Mein TR sagt: Autonomius 1 st. order, und liefert: $\begin{eqnarray} t=-\frac {2}{ k} \sqrt{H-h(t)} +C \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} h(0)=0 \Rightarrow C=\frac 2 k \sqrt H \end{eqnarray}$ eingesetzt und nach h(t) aufgelöst: $\begin{eqnarray} h(t) = -\frac1 4 k^2t^2+ k\sqrt H \cdot t \end{eqnarray}$ Das ist eine quadratische Parabel! gesucht ist nun $\begin{eqnarray} h(t_1)=\frac H 2 = 1.5 \end{eqnarray}$ Tipp: immer so früh wie möglich Zahlenwerte einsetzen, das spart unnötige Algebraarbeit. Noch was: $\begin{eqnarray} v(h)=44,3\sqrt h \end{eqnarray}$ ist natürlich ein Unding. Dimensionslos geschrieben und dann ohne Hinweis welche Maßeinheiten gelten. fällt ein Körper um h dann ist $\begin{eqnarray} v(h)=\sqrt {2gh} =\sqrt {2\cdot 9.81}\sqrt h = 4.429 \sqrt h \end{eqnarray}$ !! offenbar ist hier eine Kommastelle verrutscht! und man hat sich auch nicht die Mühe gemacht, die Verringerung des Wertes durch innere Reibung zu berücksichtigen. ( ) $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ alles in Meter und Sekunden rechnen.

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