Quadratwurzel komplexer Zahlen

18.01.2012, 20:07	Steve94	Auf diesen Beitrag antworten »
Quadratwurzel komplexer Zahlen Ich komme leider bei der Umformung nicht weiter. Sei $\begin{eqnarray} c=a+\mathrm{i}b \in \mathbb{C}; a,b \in \mathbb{R}; \zeta^2=c \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \zeta = \sqrt{\frac{1}{2}(\lvert c \rvert +a)}+ \mathrm{i} \eta \sqrt{\frac{1}{2}(\lvert c \rvert -a)} \end{eqnarray}$ Es soll gelten: $\begin{eqnarray} \eta := \pm 1 \end{eqnarray}$ damit folgt: $\begin{eqnarray} b=\eta \lvert b \rvert \end{eqnarray}$ Nun habe ich versucht über $\begin{eqnarray} \zeta^2 \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} c= a+ \mathrm{i}b \end{eqnarray}$ zu kommen. $\begin{eqnarray} \zeta^2 = (\sqrt{\frac{1}{2}(\lvert c \rvert +a)} + \mathrm{i} \eta \sqrt{\frac{1}{2}(\lvert c \rvert -a)})^2 \end{eqnarray}$ Durch umformen erhalte ich: $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow \zeta^2 = \lvert c \rvert + 2\mathrm{i}\eta\sqrt{\frac{1}{2}(\lvert c \rvert +a)} \cdot \sqrt{\frac{1}{2}(\lvert c \rvert -a)} \end{eqnarray}$ Ab diesem Schritt habe ich leider so garkeine Idee mehr. Ziel ist es zu zeigen, dass $\begin{eqnarray} \zeta^2 = c \end{eqnarray}$ gilt.
18.01.2012, 20:24	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Reche die beiden Wurzeln zusammen und nutze die dritte binomische Formel.
18.01.2012, 20:36	Steve94	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, damit komme ich auf: $\begin{eqnarray} \zeta^2=\lvert c\rvert + 2\mathrm{i}\eta\sqrt{\frac{1}{4}\lvert c\rvert^2 - \frac{1}{4}a^2} \end{eqnarray}$ Soweit so gut. Ich stehe gerade echt auf dem Schlauch. Wie geht es weiter?
18.01.2012, 21:20	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Ziehe den Bruch aus der Wurzel und denk dran, was \|c\|² ist.
18.01.2012, 21:56	Steve94	Auf diesen Beitrag antworten »
Damit komme ich auf: $\begin{eqnarray} \zeta^2 = \lvert c \rvert +\mathrm{i}b\eta \end{eqnarray}$ D.h. $\begin{eqnarray} \lvert c\rvert + \mathrm{i}b\eta = c \end{eqnarray}$ Aber wie forme ich das um?
18.01.2012, 22:59	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast noch zwei Fehler drin: 1) die Wurzel ist \|b\| und nicht b 2) Beim Quadrieren ganz am Anfang kommt nicht \|c\| sondern a raus: $\begin{eqnarray} (\frac 12 \|c\|+a)-(\frac 12 \|c\|-a) = 2\cdot \frac 12 a = a \end{eqnarray}$
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19.01.2012, 14:23	Steve94	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay super, so stimmt es. Danke!

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