Auflösen nach "t" ---- 0.9=1-(1+0.7t)exp(-0.7*t)

18.01.2012, 22:02

GalileoGalileiII

Auflösen nach "t" ---- 0.9=1-(1+0.7*t)*exp(-0.7*t)

Hi Community,

ich wäre sehr froh wenn ihr mir helfen könnt, hier ist eine Funktion bei der ich nicht weiss wie man sie eindeutig nach "t" auflösen könnte.

Idee:

$\begin{eqnarray*} 0,9=1-(1+0,7t)e^{-0,7t} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -0,1=-(1+0,7t)e^{-0,7t} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0,1=(1+0,7t)e^{-0,7t} \end{eqnarray*}$

Naja, und weiter machts kein Sinn, weil wenn man durch die Klammer (1+0,7t) teilt und danach dann den "ln()" auf beiden Seite berechnet, steckt das "t" auch im "ln()".

Dankeschön

18.01.2012, 23:21

Mathe-Maus

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RE: Auflösen nach "t" ---- 0.9=1-(1+0.7*t)*exp(-0.7*t)
Bitte verrate uns doch die ganze Aufgabe. Die gepostete Gleichung ist sicher nur ein Zwischenschritt.
LG Mathe-Maus Wink

19.01.2012, 05:40

GalileoGalileiII

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Danke für die schnelle Antwort Wink

Es geht um einen Wachstumsprozess einer Bakterienkultur.

Infotext:
Fototrophe Bakterien brauchen Licht für ihren Stoffwechsel; wenn sie im Wasser leben, bevölkern
sie also oberflächennahe Wasserschichten, die natürlich auch die sonstigen benötigten Nährstoffe enthalten müssen. Wenn man wenige solcher Bakterien in ein entsprechend belichtetes
Wasserbecken einsetzt, so ist die Wachstumsrate zunächst annähernd linear.
Mit steigendem Bestand allerdings machen die Bakterien selbst das Wasser weniger durchsichtig,
so dass schließlich die Wachstumsrate mit dem Bestand zurückgeht.

Wachstumsfunktion (Für Zunahme zum Zeitpunkt "t"):
$\begin{eqnarray*} f_{a,k}=ate^{-kt} \end{eqnarray*}$
Bestandsfunktion (Stammfunktion):
$\begin{eqnarray*} F_{a,k}=\frac{a-a(1+kt)e^{-kt}}{k^{2}} \end{eqnarray*}$

Aufgabenteil f.):
Weiter also zu Aufgabenteil f.) wo dann die Probleme auftauchen.

Infoteil:
Bei einem solchen Wachstums-Experiment im Rahmen eines Forschungsauftrags ergab sich ein
Endbestand von 120 Bakterien (pro cm³), die Zeitkonstante k wurde zu k = 0,7/h bestimmt.
Die Zeit t wird in Stunden gemessen.

1.)
Um dieses Experiment zu modellieren, muss jetzt der Parameter a in der Funktionschar $\begin{eqnarray*} F_{a,k} \end{eqnarray*}$ angepasst werden.
Ermitteln Sie aus den obigen Angaben den Wert des Parameters a für die beschreibende Funktion $\begin{eqnarray*} F_{a,k} \end{eqnarray*}$ .

2.)
Bestimmen Sie mit einem Näherungsverfahren Ihrer Wahl auf eine Nachkommastelle
genau, nach welcher Zeit die Bakterienzahl auf 90 % des Endbestands angestiegen ist.

Zu 1.) Gelöst

Vorgehen, laut Lösung:
Der Grenzwert (beschreibt den Endwert der Bakterienanzah) der Stammfunktion, und von $\begin{eqnarray*} F_{a,0.7} \end{eqnarray*}$ ist er:

$\begin{eqnarray*} \lim_{t \to \infty } F_{a,k}(t) = \frac{a}{k^{2}} \end{eqnarray*}$

Da k=0.7

$\begin{eqnarray*} \frac{a}{0,49}=120 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a=58,8 \end{eqnarray*}$

Frage:
"a" steht für den Anfangsbestand? Verstehe das Vorgehen nicht, man multipliziert den Endbestand mit dem Quadraht der Zeitkonstaten, wieso? Was hat das Ergebnis von 58.8 zu bedeuten?

Zu 2.)
Lösung gibt an:

Einsetzen liefert die zu lösende Gleichung:
$\begin{eqnarray*} 0.9*\frac{a}{0,7^{2}}=\frac{a-a(1+0.7t)e^{-0.7t}}{0.7^{2}} \end{eqnarray*}$
90% vom Endwert = Bestandsfunktion, um nach t auflösen zu können, bis hierher machts noch Sinn.
$\begin{eqnarray*} 0.9*\frac{a}{0,7^{2}}=\frac{a}{0,7^{2}}*(1-(1+0.7t)e^{-0.7t} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0.9=(1-(1+0.7t)e^{-0.7t} \end{eqnarray*}$
Verschiedene mögliche Verfahren führen zu t=5.557. Also ist der Bestand nach knapp 5,6 Stunden auf 90% des Endbestandes angewachsen.

Was für Verfahren denn??

19.01.2012, 11:04

Dopap

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RE: Auflösen nach "t" ---- 0.9=1-(1+0.7*t)*exp(-0.7*t)

Zitat:

Original von GalileoGalileiII
$\begin{eqnarray*} 0,9=1-(1+0,7t)e^{-0,7t} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -0,1=-(1+0,7t)e^{-0,7t} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0,1=(1+0,7t)e^{-0,7t} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0.7te^{-0.7t} + e^{-0,7t}-0.1=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \underbrace {7te^{-0.7t} + e^{-0,7t}-1}_{=\displaystyle {g(t)}}=0 \end{eqnarray*}$

du suchst die Nullstelle von g(t)

Verfahren: Newton, Regula Falsi, vereinfachter Newton, Iteration.

Newton: $\begin{eqnarray*} t_1=t_0-\frac {g(t_0)}{g'(t_0)} \end{eqnarray*}$ mit einem möglichst genauen Startwert $\begin{eqnarray*} t_0 \end{eqnarray*}$ .

Der verbesserte Wert $\begin{eqnarray*} t_1 \end{eqnarray*}$ wird wieder eingesetzt und $\begin{eqnarray*} t_2 \end{eqnarray*}$ berechnet usw...

Die Folge $\begin{eqnarray*} (t_n) \end{eqnarray*}$ konvergiert gegen die Nullstelle. Jedenfalls meistens.

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