Faktoren heraussuchen bei Brüchen

18.01.2012, 22:04

Neatfreak

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Faktoren heraussuchen bei Brüchen

Hallo,

Ich wollte/will meinem Bruder helfen die Hausaufgaben zu machen, jedoch war es eine Weile seither, Brüche in Faktoren zu kürzen.
Ich komme mir ziemlich blöde vor, und machte mich auf die Suche nach einer Lösung. War auf Wikipedia und es half mir ein bisschen, jedoch die Überlegungen sind mir sehr fremd. Wikipedia Artikel
Ich fing an dieses Forum zu durchsuchen und stiess auf dieses "Thema" aber die Überlegungen verstehe ich überhaupt nicht. Deshalb möchte ich zuerst mit diesem Einfacheren Bruch beginnen.

$\begin{eqnarray*} \frac{x^2-6xy+9y^2}{2x-6y} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2 - 6xy +9y^2 \end{eqnarray*}$ hat er zu $\begin{eqnarray*} (x-3y)^2 \end{eqnarray*}$ das sieht Logisch aus jedoch wenn ich das selber machen müsste, kann ich mir nicht Vorstellen wie Anfangen.
Wenn ich x raus nehme $\begin{eqnarray*} x(x-6y)+9y^2 \end{eqnarray*}$ dann nehme ich 3y heraus $\begin{eqnarray*} x(x-3)+3y \end{eqnarray*}$ aber somit komme ich nie auf den Richtigen Faktor. Ich Suche einfach eine Eselsbrücke wie ich auf den Faktor komme.

das ist die Aufgabe meines Bruders:

$\begin{eqnarray*} \frac{x+3}{x-3} - \frac{x-3}{x+3} - \frac{36}{x^2-9} \end{eqnarray*}$
Dann fing ich an wie auf der Wikipedia Seite zu Faktorisieren somit kam ich auf...
Aber diese Nenner von verschiedenen Brüchen, deshalb nahm ich einfach einmal den letzten Nenner auseinander.
$\begin{eqnarray*} x^2-9 = (x)(x)-(3x3) \end{eqnarray*}$ keine Ahnung! verwirrt

verwirrt

Ich weiss, dass das Ergebnis $\begin{eqnarray*} \frac{12}{x+3} \end{eqnarray*}$ gibt.

Somit fing ich an beim Zähler $\begin{eqnarray*} x+3 und -x-3 \end{eqnarray*}$ zu kürzen damit mir nur noch 36 übrig bleibt. Damit erhoffte ich mir das ich es mit der 9 im Nenner kürzen kann, um somit 12 zu erzielen. Aber das $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ hatte mich unsicher gemacht.

Ich hoffe es hat jemand Verstanden, was ich geschrieben habe.

18.01.2012, 22:20

Equester

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Das was dir fehlt, sind die binomischen Formeln.
Hast du diese, vereinfacht sich dein ganzes Problem zu einer Nichtigkeit Big Laugh

Big Laugh

.

Sind diese bekannt?: Binomi

18.01.2012, 22:21

sulo

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RE: Faktoren heraussuchen bei Brüchen
Du solltest dich unbedingt mal mit den binomischen Formeln auseinandersetzen.

Alle deine Probleme beruhen darauf.

smile

smile

Edit: Hi Equester, ist deiner, falls er sich noch mal meldet. Wink

Wink

18.01.2012, 22:48

Neatfreak

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RE: Faktoren heraussuchen bei Brüchen
Habe noch nie was von dem gehört, werde es jetzt Ansehen.

Danke für die schnelle Antwort! Big Laugh

Big Laugh

...ach so, das habe ich irgendwann in meinem Leben schon mal gesehen. Wink

Wink

18.01.2012, 22:54

Equester

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Das hoff ich doch Big Laugh

Big Laugh

.
Ist damit dann schon alles klar?
Sonst frage gerne weiters nach Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

18.01.2012, 23:20

Neatfreak

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Also, der Anfang ist mir klar mit den Buchstaben

$\begin{eqnarray*} (a+b)^2 etc \end{eqnarray*}$

aber wie er das weiter unten mit den Zahlen löst ist mir ein Rätsel. Wie kommt er auf die Idee $\begin{eqnarray*} 37^2 = (30+7)^2 \end{eqnarray*}$ (das ist noch logisch) aber -> $\begin{eqnarray*} 30^2 + 2 x 30 x 70 +7^2 \end{eqnarray*}$ (die X sind ein mal) WIE? kommt man auf die Idee 2 mal 30 mal 70 zu Rechnen? Ich wurde einfach viel zu sehr verwöhnt mit dem Taschenrechner.

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18.01.2012, 23:26

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Du meinst wohl: $\begin{eqnarray*} 30^2 + 2 x 30 x 7 +7^2 \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

Augenzwinkern

.
Nun ja, du kannst doch (30+7)² auch als (30+7)*(30+7) schreiben.
Wenn du das ausklammerst hast du 30²+30*7+30*7+27=30²+2*30*7+7² Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

18.01.2012, 23:30

Neatfreak

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Nach dem lesen vom Binom Artikel ist mir der Faktor von der einen Aufgabe eingefallen.

$\begin{eqnarray*} x^2 - 9 = (x+3)^2 \end{eqnarray*}$ stimmt das? es wird von Minus zu Plus in der Klammer.

Zitat:

Original von Equester
Du meinst wohl: $\begin{eqnarray*} 30^2 + 2 x 30 x 7 +7^2 \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

Augenzwinkern

.
Nun ja, du kannst doch (30+7)² auch als (30+7)*(30+7) schreiben.
Wenn du das ausklammerst hast du 30²+30*7+30*7+27=30²+2*30*7+7² Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

Oh mein Gott, das wäre ja so einfach gewesen. DANKE

18.01.2012, 23:31

Equester

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Nein, das ist falsch. Du kannst es ja ganz elementar ausklammern und wirst
feststellen, dass das nicht geht.
Wende vielmehr den 3ten Binomi an. Was erhälst du? smile

smile

18.01.2012, 23:47

Neatfreak

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$\begin{eqnarray*} (x-3)(x+3) = x^2+3x-3x-9 = x^2-9 \end{eqnarray*}$
ach so und somit kann ich

$\begin{eqnarray*} (x^2-9)^2 \end{eqnarray*}$

Beim Zähler das selbe

$\begin{eqnarray*} \frac{36(x^2-9)}{x^2-9)^2}= {12}{x-3} \end{eqnarray*}$

Was mich jedoch beunruhigt sind die Minus zwischen den einzelnen Brüchen. Ignorier ich die einfach oder hat es da eine Regel zu befolgen? Ich habe ein bisschen gemogelt, weil ich das Ergebnis schon wusste.

18.01.2012, 23:52

Equester

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Deine erste Zeile ist richtig smile

smile

.
Was willst du mir mit der zweiten Zeile sagen?

Dein Kürzen ist in jedem Falle falsch.

$\begin{eqnarray*} \frac{36(x^2-9)}{(x^2-9)^2}=\frac{36}{x^2-9}\neq12x-3 \end{eqnarray*}$

Du willst das hier vereinfachen?
$\begin{eqnarray*} \frac{x+3}{x-3} - \frac{x-3}{x+3} - \frac{36}{x^2-9} \end{eqnarray*}$
Da gilt es erst mal den Hauptnenner zu finden smile

smile

.
Den dritten Binomi anzuwenden, war allerdings schon eine gute Idee Freude

Freude

.

19.01.2012, 00:21

Neatfreak

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in der zweiten Zeile habe ich einfach noch den Zähler dazu gefügt.

So weit wie ich mich Erinnern kann haben wir viele Sachen gekürzt. Wie weiss man das man

$\begin{eqnarray*} \frac{x+3}{x-3} - \frac{x-3}{x+3} \end{eqnarray*}$

Man würde dann nicht auf das richtige Resultat kommen, aber das weiss man am ohne Ergebnis nicht. Zumindest ich.

19.01.2012, 00:28

Equester

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Zitat:

Original von Neatfreak

So weit wie ich mich Erinnern kann haben wir viele Sachen gekürzt. Wie weiss man das man

$\begin{eqnarray*} \frac{x+3}{x-3} - \frac{x-3}{x+3} \end{eqnarray*}$

Was meinst du damit? Das war doch die Aufgabenstellung. Zumindest die ersten
beiden Summanden der Summe Augenzwinkern

Augenzwinkern

.
Du musst den Hauptnenner aller drei Summanden finden. Dafür hilft dir die
dritte binomische Formel.

Bin aber jetzt im Bett. Antworte dann in der Frühe, solange es kein anderer getan hat smile

smile

.

19.01.2012, 01:02

Neatfreak

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Danke für die Hilfe, aber jetzt verstehe ich nichts mehr. War ein langer Tag!
Jetzt habe ich mir die letzten "Posts" nochmals angesehen und merkte das ich völlig etwas Falsches zusammen gerechnet habe. War zu sehr auf das Resultat fixiert.

Also, das Resultat sollte am Schluss $\begin{eqnarray*} \frac{12}{x+3} \end{eqnarray*}$ ausser das Rechnungsbuch hat den Fehler.

Wie gesagt der Nenner ist richtig mit $\begin{eqnarray*} (x^2-9)^2 \end{eqnarray*}$

somit lautet es

$\begin{eqnarray*} \frac{36(x^2-9)}{(x^2-9)^2} = \frac{36}{(x^2-9)} = \frac{12}{(x^2-3)} \end{eqnarray*}$
Wenn das Resultat stimmt hätte ich von Anfang an die x-3 und x+3 Rausstreichen können und hätte die Binomische Formel Sparen können.

Meine Frage von vorhin ist auch immer noch unklar. Wieso wende ich die dritte Binomische Formel an, wenn es ein Minus in der Mitte hat...bzw

$\begin{eqnarray*} \frac{(x+3)}{(x-3)} - \frac{(x-3)}{(x+3)} \end{eqnarray*}$ versuchte das Minus zwischen den Brüchen rot zu machen aber es geht irgendwie nicht. Wäre es dann nicht

$\begin{eqnarray*} (x+3) - (x-3) \end{eqnarray*}$ und somit würde die Binomische Formel nicht gehen, oder?

Sorry für die vielen Fragen, aber ich habe eine volle Bildungslücke! Getraute mich nie in der Schule zu Fragen. unglücklich

unglücklich

19.01.2012, 10:14

Equester

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Dafür aber ist die Schule da; zu fragen! Trau dich ruhig!

Aber um zu deiner Frage zu kommen
$\begin{eqnarray*} \frac{12}{x+3} \end{eqnarray*}$ , dieses Resultat kann ich bestätigen Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

Zitat:

Wie gesagt der Nenner ist richtig mit $\begin{eqnarray*} (x^2-9)^2 \end{eqnarray*}$

Wie kommst du darauf, dass dieser Nenner richtig ist? Er ist zwar nicht falsch,
aber er ist nicht der Hauptnenner und damit verkomplizierst du die ganze Sache.

Du hast diese drei Nenner: $\begin{eqnarray*} (x-3), (x+3), (x²-9) \end{eqnarray*}$ .
Davon finde das kleinste gemeinsame Vielfache. Dafür schreibe $\begin{eqnarray*} (x²-9) \end{eqnarray*}$ mit der
binomischen Formel (der dritten) als $\begin{eqnarray*} (x-3)(x+3) \end{eqnarray*}$ .
Du solltest also sehen, dass das kleinste gemeinsame Vielfache (und damit der
Hauptnenner) $\begin{eqnarray*} (x-3)(x+3) \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} (x²-9) \end{eqnarray*}$ lautet!

Du hast deinen Ausdruck also so:
$\begin{eqnarray*} \frac{x+3}{x-3} - \frac{x-3}{x+3} - \frac{36}{x^2-9} \end{eqnarray*}$

Diese gilt es nun zu erweitern, wobei der Hauptnenner mal eingefügt ist.
Den Zähler berichtigst du!
$\begin{eqnarray*} \frac{(x+3)*?}{(x-3)(x+3)} - \frac{(x-3)*?}{(x+3)*(x-3)} - \frac{36}{\underbrace{x^2-9}_{\text{ist schon Hauptnenner}}} \end{eqnarray*}$

Damit einiges klar geworden? Ersetze die Fragezeichen smile

smile

.

19.01.2012, 13:42

Neatfreak

Auf diesen Beitrag antworten »

Zuerst, Danke für die Geduld! Hoffe mein Deutsch ist einigermassen Verständlich. Ist nicht meine Muttersprache, aber möchte es wieder Auffrischen.

Somit muss ich trotzdem Gleichnennerig mache. Irgendwie dachte ich mit dem Binomen Gesetz muss ich das nicht mehr deswegen verstand ich es nicht.

$\begin{eqnarray*} \frac{(x+3)(x+3)}{(x^2-9)} - \frac{(x-3)(x-3)}{(x^2-9)} - \frac{36}{(x^2-9)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{(x^2+6x+9)}{(x^2-9)} - \frac{(x^2-6x+9)}{(x^2-9)} - \frac{36}{(x^2-9)} \end{eqnarray*}$

um es für mich zu vereinfachen, schreibe ich alles mit einem Nenner.

1ste Überlegung

$\begin{eqnarray*} \frac{x^2+6x+9-x^2-6x+9-36}{x^2-9} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{18-36}{x^2-9} \end{eqnarray*}$

Aber so komm ich nicht auf das Resultat. Nach langem Überlegen kam mir in den Sinn. Wenn ich $\begin{eqnarray*} (x^2 + 6x - 9) \end{eqnarray*}$ in einer Klammer lasse kann ich es mal das minus Rechnen.

2er Überlegung

$\begin{eqnarray*} \frac{x^2+6x+9-x^2+6x-9-36}{x^2-9} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{12x-36}{x^2-9} \end{eqnarray*}$ /3

$\begin{eqnarray*} \frac{4x-12}{x^2-3} \end{eqnarray*}$

traurig

traurig

so komme ich auch nicht auf das Resultat.

19.01.2012, 13:53

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Dein Deutsch ist ausgezeichnet Freude

Freude

. Da kann sich manch Muttersprachler eine
Scheibe abschneiden Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

Deine erste Überlegung ist prinzipiell richtig.
Beachte, aber die Minusklammer! Wenn du diese ausklammerst alle Vorzeichen drehen! Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

$\begin{eqnarray*} \frac{x^2+6x+9-\color{red}(\color{black}x^2-6x+9\color{red})\color{black}-36}{x^2-9} \end{eqnarray*}$

Klar?
Damit hast du dann die Lösung die du suchst smile

smile

.

(Für weitere Antworten bin ich erst heut Abend wieder da. Aber wir sind schon
fast am Ziel smile

smile

.)

19.01.2012, 16:34

Neatfreak

Auf diesen Beitrag antworten »

Habe ich es hier Falsch gemacht?
Habe die zweite Klammer mit Minus multipliziert.
die Regeln sind doch
+ mal + bleibt +
- mal - = +
+ mal - = -
- mal + = -

Zitat:

Original von Neatfreak
2er Überlegung

$\begin{eqnarray*} \frac{x^2+6x+9-x^2+6x-9-36}{x^2-9} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{12x-36}{x^2-9} \end{eqnarray*}$ /3

$\begin{eqnarray*} \frac{4x-12}{x^2-3} \end{eqnarray*}$

traurig

traurig

so komme ich auch nicht auf das Resultat.

$\begin{eqnarray*} - mal x^2 = -x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} - mal -6x = +6x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} - mal + 9 = -9 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{x^2+6x+9-x^2+6x-9-36}{x^2-9} \end{eqnarray*}$

aber weiter bin ich mir nicht sicher, weil jetzt habe ich ja ein positives und negatives x2 und 9.

--> $\begin{eqnarray*} \frac{6x+6x-36}{x^2-9} \end{eqnarray*}$

19.01.2012, 20:24

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Ah genau, das hatte ich überlesen.
Das mit der Minusklammer ist richtig betrachtet Freude

Freude

$\begin{eqnarray*} \frac{x^2+6x+9-x^2+6x-9-36}{x^2-9} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{12x-36}{x^2-9} \end{eqnarray*}$

Bis dahin ists richtig. Klammere im Zähler nun 12 aus smile

smile

.

Durch 3 teilen kannst du nicht einfach! Wir haben es hier mit lauter Summanden zu tun!!!

19.01.2012, 21:21

Neatfreak

Auf diesen Beitrag antworten »

Ach so...

$\begin{eqnarray*} \frac{12x-36}{x^2-9} \end{eqnarray*}$

Es klingt so einfach

$\begin{eqnarray*} \frac{12(x-3)}{(x-3)(x+3)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{12}{x+3} \end{eqnarray*}$

Ich wäre nie auf das Resultat gekommen, wenn ich nicht gewusst hätte das $\begin{eqnarray*} x^2-9=(x-3)(x+3) \end{eqnarray*}$

Danke Prost

Prost

Gott

smile

Jetzt werde ich das Mathebuch vom Bruder durchrechnen.

19.01.2012, 21:23

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, ganz einfach gell Big Laugh

Big Laugh

Binomische Formel war hier das Zauberwort.
Gab aber natürlich noch weitere Zauberwörter.

Viel Spaß beim Durchstöbern Augenzwinkern

Augenzwinkern

19.01.2012, 22:58

Neatfreak

Auf diesen Beitrag antworten »

Es geht ich wäre nie auf diese Lösung gekommen. Es ist viel konzentration gefragt weil es so viele kleine versteckten Regeln gibt...bsp. Mit den Klammern die Plus und Minus die sich ständlig verändern. Aber Übung macht den Meister. smile

smile

Danke vielmals für die Hilfe und Geduld.

19.01.2012, 23:51

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Yep, Übung macht den Meister! smile

smile

Gerne,

Wink

23.01.2012, 16:39

Neatfreak

Auf diesen Beitrag antworten »

hätte wieder einmal eine Frage, aber diesmal beim Multiplizieren. Dachte ich bleibe beim selbem "Post".

bin mir nicht mehr ganz
Aufgabe lautet:

$\begin{eqnarray*} \frac{(x-y)^2}{a^2-9} : \frac{x-y}{2a+6} \end{eqnarray*}$

meine Überlegung

$\begin{eqnarray*} \frac{(x-y)(x-y)}{(a-3)(a+3)} . \frac{2(a+3)}{(x-y)} \end{eqnarray*}$

Im google fand ich leider nur mit Zahlen, deswegen bin ich mir nicht sicher wie das mit Buchstaben geht. Wahrscheinlich kann ich nicht viel machen.

$\begin{eqnarray*} \frac {x^2-2xy+y^2+2a+6}{a^2-9+x-y} \end{eqnarray*}$

wäre das die Lösung?

23.01.2012, 16:43

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist allgemein üblich für eine neue Aufgabe einen neuen Thread zu nutzen.
Zum einen der Übersicht halber, zum anderne könntest du Pech haben und ich nur
ein einmaliger Helfer Big Laugh

Big Laugh

.

Zur Aufgabe:
Deine Überlegung war sehr gut und ist richtig. Doch wie du weitermachst ist vorerst unnötig
(Und außerdem falsch)!

Bedenke, dass du gemeinsame Faktoren kürzen kannst. Ob der Faktor aus Zahlen oder
aus Buchstaben besteht, ist ja egal, solange beide Faktoren (im Zähler und Nenner) gleich sind smile

smile

.

23.01.2012, 16:59

Neatfreak

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiss nie wann ich kürzen darf und wann nicht. Aber sie sind nicht im gleichen Bruch. ?

$\begin{eqnarray*} \frac{(x-y)(x-y)}{(a-3)(a+3)} . \frac{2(a+3)}{(x-y)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{x-y}{a-3} . 2 \end{eqnarray*}$

dann würde es

$\begin{eqnarray*} 2 \frac{x-y}{a-3} \end{eqnarray*}$ geben?

23.01.2012, 17:04

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja das ist richtig smile

smile

.

Da du einen Malpunkt zwischen den beiden Brüchen hast, kannst du ihn ja einfach
zusammenschreiben. Aber nicht wie du das gemacht hattest, mit einem +, sondern
mit einem Malpunkt! Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} \frac{(x-y)(x-y)}{(a-3)(a+3)} . \frac{2(a+3)}{(x-y)}=\frac{(x-y)(x-y)\cdot 2(a+3)}{(a-3)(a+3)\cdot (x-y)} \end{eqnarray*}$

23.01.2012, 17:19

Neatfreak

Auf diesen Beitrag antworten »

Wieder einmal ein Problem beseitigt. Danke! smile

smile

23.01.2012, 17:22

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Gerne

Augenzwinkern

Wink

1

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