Kongruenz Grad 4

19.01.2012, 09:44

blindes Huhn

Kongruenz Grad 4

Hallo,
ich habe eine Aufgabe die ich lösen muss und will aber ich finde keinen Anfang. Bitte bitte nicht lösen, dass will ich alleine, aber vielleicht habt ihr nen Ansatz, so dass ich weiter machen kann.

Aufgabe:
Bestimmen sie alle ganzen Zahlen für die gilt: $\begin{eqnarray*} x^{4} +36x^{3} -19x^{2} +11x-14\equiv 0 mod 5 \end{eqnarray*}$

19.01.2012, 09:54

René Gruber

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Für Polynome $\begin{eqnarray*} p(x) \end{eqnarray*}$ mit ganzzahligen Koeffizienten gilt $\begin{eqnarray*} p(x)\equiv p(y)\bmod m \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\equiv y\bmod m \end{eqnarray*}$ , sollte dir eigentlich bekannt sein.

Insofern musst du für die Beantwortung deiner Frage nur die Werte $\begin{eqnarray*} x=0,1,2,3,4 \end{eqnarray*}$ in dein Polynom einsetzen und testen, ob da $\begin{eqnarray*} \equiv 0\bmod 5 \end{eqnarray*}$ herauskommt - so einfach ist das.

19.01.2012, 09:58

blindes Huhn

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Ja super, das hab ich schon gemacht und auch eine Lösung.
Aber das kann ich ja hier mal machen, weil die Zahl so klein ist, bei mod 897 würde das ja ewig dauern, von daher habe ich gedacht es muss auch einen anderen Weg geben.
Und denn suche ich

19.01.2012, 10:00

René Gruber

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Zitat:

Original von blindes Huhn
es muss auch einen anderen Weg geben.

Einen der einfacher ist? Warum "muss" es den geben?

Geschickte Faktorisierungen mögen die gesamte Durchsuchung aller Restklassen in vielen Fällen vermeiden helfen, aber es entzieht sich meiner Kenntnis, ob man dafür einen Algorithmus gibt, der für alle Polynome und zumindest für große Module $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ hinsichtlich Effizienz das einfache obige Einsetzungsverfahren schlägt. verwirrt

19.01.2012, 10:06

blindes Huhn

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Naja, weil ein weiterer augabenteil lautet:

Folgern sie, dass es keine ganze zahl mit :
$\begin{eqnarray*} x^{4} +36x^{3} -19x^{2}+11x-14\equiv 0mod25 \end{eqnarray*}$

19.01.2012, 10:11

René Gruber

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Das ist ja was anderes: Wegen $\begin{eqnarray*} 25=5^2 \end{eqnarray*}$ kann man ja hier die Ergebnisse der obigen Aufgabe verwenden!

Ich dachte, du redest erstmal vorrangig nur von Primzahlmodulen.

19.01.2012, 10:15

blindes Huhn

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Soweit habe ich auch gedacht, mich verwirrt nur die Aufgabenstellung:
Folgern sie, dass es keine ganze zahl gibt.
Ich finde doch aber eine, weil ich doch die ermittelten werte aus dem oberen Teil nehmen kann.

19.01.2012, 10:18

René Gruber

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Du findest eine Lösung modulo 5, nämlich $\begin{eqnarray*} x\equiv 1\bmod 5 \end{eqnarray*}$ .

Also setzt du $\begin{eqnarray*} x = 5y+1 \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} x^4+36x^3-19x^2+11x-14\equiv 0 \bmod 25 \end{eqnarray*}$ ein, und erhältst (nach Reduktion aller modulo 25 überflüssigen Terme) was?

19.01.2012, 10:41

blindes Huhn

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Hab jetzt mal mein Skript erschlagen Augenzwinkern

,
was bedeutet "Reduktion modulo p"?

19.01.2012, 11:11

René Gruber

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Alles, was in Klammern steht, soll eigentlich der näheren Erläuterung dienen, nicht weitere Nachfragen provozieren. Also bitte das mit der Reduktion aus den Gedächtnis streichen.

19.01.2012, 12:04

blindes Huhn

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ich erhalte:
$\begin{eqnarray*} 625y^{4} +4500y^{3} -475y^{2}+55y+15 \end{eqnarray*}$

und nun?

19.01.2012, 12:35

René Gruber

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Modulo 25 fallen eine ganze Menge Terme davon ganz weg (das meinte ich eigentlich mit "Reduktion"), nämlich alle y-Potenzen zweiter und höherer Ordnung.

Und von dem, was übrig bleibt, hast du dich ausgerechnet beim wichtigen linearen Term mit deinen $\begin{eqnarray*} 15y \end{eqnarray*}$ verrechnet.

19.01.2012, 12:52

blindes huhn

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Stimmt, es bleibt also:
$\begin{eqnarray*} 55y-20\equiv 0mod25 \end{eqnarray*}$

20.01.2012, 09:00

René Gruber

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Da hab ich immer noch was anderes raus. Egal, wie du rechnest, es muss ein durch 25 teilbarer Vorfaktor vor dem $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ auftauchen, d.h. 0y mod 25 - das ist ja der Grund dafür, warum es keine Lösungen modulo 25 gibt!

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