Problem beim Differenzieren (Vereinfachen)

19.01.2012, 11:34

J.R12

Problem beim Differenzieren (Vereinfachen)

Meine Frage:
Hallo!!!
Zu beginn möchte ich mich bereits über eure Hilfe bedanken!!!!
Mein Problem liegt beim differenzieren einer gebrochen-rationaler Funktionen:

f(x)= $\begin{eqnarray*} \frac{\frac{1}{2}x^{2}+2x-1 }{x^{2}-2 } \end{eqnarray*}$

Ich soll die x-Werte der notw. Bedingung für die Wendepunkte ermitteln (f ''(x)=0)
Die Ableitung an sich stellt für mich eigtl. kein Problem dar, allerdings bekomme ich die erste Ableitung nicht sinnvoll vereinfacht, um bei f''(x) möglichst einfach die x-Werte zu bekommen (darf keinen Taschenrechner verwenden!)

Meine Ideen:
Hier mein Lösungsansatz:
Zu erst verwende ich die Produkt- statt der Quotientenregel und erhalte:
f'(x)= $\begin{eqnarray*} (x+2)(x^{2} -2)^{-1}+(\frac{1}{2} x^{2}+2x-1)\cdot -(x^{2}-2)^{-2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{x+2}{(x-1)(x+2)} -\frac{\frac{1}{2}x^{2}+2x-1 }{(x^{2}-2)^{2}} <br /> \end{eqnarray*}$

Nun kann ich (x+2) kürzen, aber wie vereinfache ich am sinnvollsten die "rechte" Seite?
Ich kann hier ja ebenfalls $\begin{eqnarray*} ((x-1)*(x+2))^{2} \end{eqnarray*}$ schreiben, habe aber grade iwie ein Brett vorm Kopf wie ich $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}x^{2}+2x-1 \end{eqnarray*}$ verändere (vllt. in das Binom (x+2)^{2}, aber wie verwirrt

mit 2 erweitern???)

Ich danke für eure Hilfe!!! Gott

MfG
J.R12

19.01.2012, 11:55

klarsoweit

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RE: Problem beim differenzieren!!!(vereinfachen)

Zitat:

Original von J.R12
Zu erst verwende ich die Produkt- statt der Quotientenregel und erhalte:
f'(x)= $\begin{eqnarray*} (x+2)(x^{2} -2)^{-1}+(\frac{1}{2} x^{2}+2x-1)\cdot -(x^{2}-2)^{-2} \end{eqnarray*}$

Hier hast du die Kettenregel nicht angewendet.

Zitat:

Original von J.R12
$\begin{eqnarray*} = \frac{x+2}{(x-1)(x+2)} -\frac{\frac{1}{2}x^{2}+2x-1 }{(x^{2}-2)^{2}} \end{eqnarray*}$

Und hier rechnest du anscheinend (x² - 2) = (x-1)*(x+2), was aber offensichtlich falsch ist.

Ich würde es dann doch mit der Quotientenregel machen.

19.01.2012, 12:01

J.R12

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RE: Problem beim differenzieren!!!(vereinfachen)
Hallo,
habe habe ich auch gerade gemerkt, leider konnte ich den Beitrag nicht mehr editieren...

Ich mache es noch einmal mit der Quotientenregel.

Vielen Dank für die schnelle Rückmeldung!

19.01.2012, 18:06

J.R12

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RE: Problem beim differenzieren!!!(vereinfachen)
So, hatte nun Zeit die Aufgabe erneut mit der Quot.-regel zu rechnen (Hoffe diesmal nichts verrechnet...)

f '(x) = $\begin{eqnarray*} \frac{(2x+2)\cdot (x^{2}-2)-((\frac{1}{2}x^{2}+2x-1)\cdot 2x) }{(x^{2}-2)^{2}} \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \frac{x^{3}-2x^{2}-2x-4}{(x^{2}-2)^{2}} \end{eqnarray*}$

f ''(x) = $\begin{eqnarray*} \frac{(3x^{2}-4x-2)\cdot (x^{2}-2)^{2}-((x^{3}-2x^{2}-2x-4\cdot 2(x^{2}-2)\cdot 2x)}{(x^{2}-2)^{4}} \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \frac{(x^{2}-2)\cdot (-x^{4}+4x^{3}+24x+4)}{(x^{2}-2)^{4}} \end{eqnarray*}$

Nun kann ich ja kürzen und muss f''(x) = 0 setzen...
Das heißt ich müsste noch folgendes haben:

$\begin{eqnarray*} -x^{4}+4x^{3}+24x+4=0 \end{eqnarray*}$

--> 0-Stelle raten und Polynomdivision!?
Geht das noch eleganter???, oder habe ich etwas falsch gemacht?

Meine mathematischen Kenntnisse sind leider etwas eingerostet^^

Ich danke für eure Antworten!

20.01.2012, 08:29

klarsoweit

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RE: Problem beim differenzieren!!!(vereinfachen)

Zitat:

Original von J.R12
So, hatte nun Zeit die Aufgabe erneut mit der Quot.-regel zu rechnen (Hoffe diesmal nichts verrechnet...)

f '(x) = $\begin{eqnarray*} \frac{(2x+2)\cdot (x^{2}-2)-((\frac{1}{2}x^{2}+2x-1)\cdot 2x) }{(x^{2}-2)^{2}} \end{eqnarray*}$

Richtig ist: $\begin{eqnarray*} f'(x) = \frac{(x+2)\cdot (x^2-2) - ((\frac{1}{2}x^2+2x-1)\cdot 2x) }{(x^2-2)^2} \end{eqnarray*}$

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