Umkehraufgabe: Ganzrationale Funktion 4. Grades |
| 19.01.2012, 10:46 | pauline5 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Umkehraufgabe: Ganzrationale Funktion 4. Grades Bestimmen Sie die ganzrationale Funktion f vom Grad 4, deren Graph durch A(3/27) geht und den Tiefpunkt (6/0) und den Hochpunkt (2/16) hat. Berechnen Sie die Wendepunkte und legen durch diese eine Gerade. Ich habe die Funktion aufgestellt: f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e und diese Funktion einmal abgeleitet: f'(x)=4ax^3+3bx^2+2cx+d Jetzt muss ich die Nebenbedingungen aufstellen und da kommt schon das Problem. Für f(3)=27 habe ich die Nebenbedingung. Aber die weiteren? Ich hoffe, mir kann hier einer weiterhelfen vielleicht auch mit einer grundsätzlichen Erklärung, wie man Gleichungen aufstellt. |
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| 19.01.2012, 10:58 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Extremwertaufgabe: Ganzrationale Funktion 4. Grades Welche Eigenschaft hat die Funktion an einem Tief- oder Hochpunkt? |
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| 19.01.2012, 11:06 | pauline5 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Extremwertaufgabe: Ganzrationale Funktion 4. Grades Das ist der höchste oder der tiefste Punkt also der maximale bzw. minimale Wert. |
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| 19.01.2012, 11:38 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Extremwertaufgabe: Ganzrationale Funktion 4. Grades Das ist schön, aber ihr habt sicherlich auch gelernt, welche weiteren Eigenschaften damit verbunden sind. |
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| 19.01.2012, 12:05 | pauline5 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Extremwertaufgabe: Ganzrationale Funktion 4. Grades notwendige Bedingung: f'(x)=0 hinreichende Bedingung: f'(x)=0 und f''(x)=<0 (Hochpunkt) oder f''(x)=>0 (Tiefpunkt) Was heißt das jetzt? f'(x) gibt die Steigung an f''(x) sagt mir ob es eine Rechts- oder Linkskrümmung ist (Vorzeichen) Richtig? Warum brauche ich das für meine Nebenbedingungen? Ich verstehe das noch nicht so ganz. (Ich versuche mir Mathe gerade selber beizubringen.) |
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| 19.01.2012, 12:29 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Extremwertaufgabe: Ganzrationale Funktion 4. Grades
OK. Damit weißt du, welche Steigung am Tiefpunkt (6/0) und am Hochpunkt (2/16) vorliegen muß. Daraus kannst du jeweils eine Gleichung aufstellen. |
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| 19.01.2012, 12:42 | pauline5 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Extremwertaufgabe: Ganzrationale Funktion 4. Grades Muss ich meine Funktion dann noch ein zweites Mal ableiten? Die zweite Funktion würde dann ja lauten: f''(x)=12ax^2+6bx+2c dann einsetzen f''(6)=12a*6^2+6b*6+2c und f''(2)=12a*2^2+6b*2+2c |
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| 19.01.2012, 12:49 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Extremwertaufgabe: Ganzrationale Funktion 4. Grades Das ist Moment nicht erforderlich, da die Werte für f''(6) und f''(2) nicht bekannt sind. Das kann man höchstens als Kontrolle untersuchen, wenn du die Funktion aufgestellt hast. Du kannst aber über die Koordinaten von Hoch- und Tiefpunkt noch 2 Gleichungen aufstellen. |
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| 19.01.2012, 13:15 | pauline5 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Extremwertaufgabe: Ganzrationale Funktion 4. Grades Ich habe einen Punkt bei x=6 und 6 abgeleitet ergibt Null Ist dann f'(6)=0? und in die Grundfunktion f(6)=0=6a^4+6b^3+6c^2+6d+e Das gleiche mit x=2 abgeleitet ergibt Null und in die Grundfunktion f(2)=16=2a^4+6b^3+6c^2+6d+e Ist das der richtige Denkansatz? |
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| 19.01.2012, 13:38 | pauline5 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Extremwertaufgabe: Ganzrationale Funktion 4. Grades Bei der zweiten Geichung ist ein Fehler: f(2)=16=2a^4+2b^3+2c^2+2d+e |
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| 19.01.2012, 13:42 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Extremwertaufgabe: Ganzrationale Funktion 4. Grades
Ja.
Es ist zwar f(6)=0 und f(2)=16, aber der Rest ist falsch. Schau dir nochmal deinen Ansatz an. |
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| 19.01.2012, 14:21 | pauline5 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Extremwertaufgabe: Ganzrationale Funktion 4. Grades Neuer Versuch Steigung mit m=(0-16)/(6-2)=-4 f(6)=0 f'(6)=-4 |
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| 19.01.2012, 14:29 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Extremwertaufgabe: Ganzrationale Funktion 4. Grades Jetzt driftest du etwas ab. Wir hatten doch schon die Erkenntnis, daß bei Hoch- und Tiefpunkten f'(x) = 0 ist. Also ist f'(2)=0 und f'(6)=0 . Du kennst aber auch die Koordinaten dieser Punkte. Damit kannst du wie bei dem Punkt A noch jeweils eine weitere Gleichung aufstellen. |
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| 19.01.2012, 14:48 | Flieg&Sieg | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Es heißt doch f(x)=ax^4+bx³+cx²+dx+e , deshalb werden deine Gleichungen falsch 
Wenn du den Punkt (6/0) hast, lautet die Gleichung daher: das selbe gilt natürlich auch für die anderen 4 Gleichungen, die du benötigst, um jeden Parameter zu bestimmen. |
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| 19.01.2012, 15:27 | pauline5 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Extremwertaufgabe: Ganzrationale Funktion 4. Grades In meinen Lösungen habe ich stehen f(3)=27 habe ich verstanden f'(0)=0 habe ich nicht verstanden Woher kommt das? f(0)=0 habe ich nicht verstanden Woher kommt das? f'(2)=0 habe ich verstanden f(2)=16 habe ich verstanden Als Gleichung habe ich dann f(3)=27 81a+27b+9c+3d+1e=27 f'(0)=0 0a+ 0b+0c+0d+1e=0 warum steht hier 1e obwohl in der Ableitung kein e mehr vorkommt? f(0)=0 0a+0b+0c+1d+0e=0 warum steht hier 1d f'(2)=0 32a+12b+4c+0d+0e f(2)=16 16a+8b+4c+0d+0e |
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| 19.01.2012, 15:33 | pauline5 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Extremwertaufgabe: Ganzrationale Funktion 4. Grades Vielen Dank erst einmal für eure Hilfe. |
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| 19.01.2012, 15:44 | Flieg&Sieg | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
f(0)=0 und f'(0)=0 bedeuten, dass im Ursprung (0|0) ein weiteres Extremum liegt (Tiefpunkt in diesem Fall) und dass e=0 ist (y-Achsenabschnitt). Das kann man aber nicht dem Text entnehmen würde ich sagen. 
Und warum bei deinen Lösungen nicht stattdessen f(6)=0 und f'(6)=0 steht (was man dem Text entnehmen kann), ist mir auch schleierhaft^^ Du hast im Prinzip alle nötigen Informationen, nämlich f(x)=ax^4+bx³+cx²+dx+c f'(x)=4ax³+3bx²+2cx+d f(3) =27 f(6)=0 f(2)=16 f'(6)=0 f'(2)=0 Einsetzen, nach Belieben Auflösen und fertig ist die Gleichung 
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| 19.01.2012, 20:21 | pauline5 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Vielen Dank für deine Antwort. Diese Aufgabe hat mich heute doch ins schwitzen gebracht. Dann ändere ich das jetzt in meiner Lösung. Und dann weiß ich hoffentlich auch, wie es weiter geht. Euch noch einen schönen Abend. |
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