Differenzieren von ln(x + sqrt(x²+1))

19.01.2012, 13:15

LPX

Differenzieren von ln(x + sqrt(x²+1))

Hallo,

ich möchte folgende Funktion in die erste Ableitung bringen:

$\begin{eqnarray*} f(x) = ln(x + \sqrt{x^{2}+1}) \end{eqnarray*}$

Dabei gehe ich nach der Kettenregel vor:

$\begin{eqnarray*} u(x) = ln(x)<br /> u'(x) = \frac{1}{x}<br /> <br /> v(x) = x + \sqrt{x^{2}+1}<br /> v'(x) = 1 + \frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}} \end{eqnarray*}$

Jetzt mache ich irgendwo einen Fehler, beim Zusammenrechnen:
$\begin{eqnarray*} f'(x) = \frac{1}{x + \sqrt{x^{2}+1}} (1 + \frac{x}{\sqrt{x²+1}}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{x + \sqrt{x^{2}+1}} + \frac{x}{x\sqrt{x²+1}}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{\sqrt{x^{2}+1}}{(x + \sqrt{x^{2}+1})\sqrt{x²+1}} + \frac{x + \sqrt{x²+1}}{(x + \sqrt{x^{2}+1})\sqrt{x²+1}} \end{eqnarray*}$

Da komme ich dann auf:
$\begin{eqnarray*} f'(x) = \frac{2\sqrt{x^{2}+1}+x}{x\sqrt{x^{2}+1}} \end{eqnarray*}$

Es sollte aber raus kommen:
$\begin{eqnarray*} f'(x) = \frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}} \end{eqnarray*}$

Könnt ihr mir sagen, wo mein Fehler liegt?
Danke schonmal smile

19.01.2012, 13:42

klarsoweit

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RE: Differenzieren von ln(x + sqrt(x²+1))

Zitat:

Original von LPX
Jetzt mache ich irgendwo einen Fehler, beim Zusammenrechnen:
$\begin{eqnarray*} f'(x) = \frac{1}{x + \sqrt{x^{2}+1}} (1 + \frac{x}{\sqrt{x²+1}}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{x + \sqrt{x^{2}+1}} + \frac{x}{x\sqrt{x²+1}}) \end{eqnarray*}$

Bei der Umformung zur 2. Zeile ist was schief gelaufen. Fasse erstmal den Klammerausdruck zusammen.

19.01.2012, 14:53

siegertyp

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Richtig, du ersetzt die 1 durch

$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{x^2+1} }{\sqrt{x^2+1} } \end{eqnarray*}$ ,
addierst die beiden Ausdrücke in der Klammer und zum Schluss hast du

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x+\sqrt{x+1} } * \frac{x+\sqrt{x^2+1} }{\sqrt{x^1+1} } = \frac{1}{\sqrt{x^2+1} } \end{eqnarray*}$

19.01.2012, 14:58

siegertyp

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btw das hat mich etwa ne Stunde gekostet bsi ich drauf gekomen bun und bald ist matheabi Freude