Majorante für Folgen

19.01.2012, 13:49	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
Majorante für Folgen Meine Frage: Hey Leute, für die Konvergenz von Reihen, gibt es ja das s.o.g Majorantenkriterium, welches besagt: Wenn ich eine Majorante (größere Reihe) finde, die konvergiert, dann konvergiert die kleinere Reihe auch, gegen den gleichen Grenzwert wie die Majorante! Kann ich dies auch für den Greznwert von Folgen verwenden??? Das heißt, ich nehme z.B.: $\begin{eqnarray} (1 + \frac{2n +1}{n^2 -1})^n \leq (1 + \frac{2n}{n^2})^n = (1 + \frac{2}{n} )^n \to e^2 \end{eqnarray}$ also dann kann ich ja sagen, dass die ursprüngliche Folge gegen den Grenzwert e^2 konvergiert oder?? Meine Ideen: Danke für die Hilfe! Muss ich noch mehr zeigen?? Also reicht das so, wenn man es etwas ausführlicher schreibt??
19.01.2012, 13:56	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Ganz so einfach funktioniert das nicht, die eine Abschätzung reicht nicht. So gilt etwa $\begin{eqnarray} a_n=(-1)^n\leq 1^n=b_n \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \lim\limits_{n\to\infty} b_n=1 \end{eqnarray}$ , aber $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ konvergiert offensichtlich nicht. Es gibt aber ein ähnliches Kriterium, das Sandwichlemma. Du müsstest also noch eine kleinere Folge finden, die auch gegen $\begin{eqnarray} e^2 \end{eqnarray}$ konvergiert, dann wäre das in Ordnung. (Später) Nachtrag: Gleicher Grenzwert Majorantenkriterium, bloß weil man eine konvergente Majorante findet, lässt sich damit natürlich keine Aussage über den konkreten Grenzwert einer Reihe machen.
19.01.2012, 15:09	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey super vielen Dank, von diesem Lemma habe ich schon was gehört, aber ich hatte es leider nicht parat! Würde diese Abschätzung nach unten denn gehen? : $\begin{eqnarray} (1 + \frac{2n+1}{n^2-1})^n \geq (1 + \frac{2n+1}{n^2})^n = (1 + \frac{n(2+\frac{1}{n}) }{n^2})^n = (1 + \frac{2+\frac{1}{n} }{n})^n \end{eqnarray}$ da ja $\begin{eqnarray} \frac{1}{n} \to 0 : (n \to \infty ) \end{eqnarray}$ geht das in der letzten Klammer ja auch wieder gegen $\begin{eqnarray} e^2 \end{eqnarray}$ Danke!
19.01.2012, 16:35	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Da bekommst du Probleme, du kannst ja nicht zuerst das $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ innerhalb der Klammer gegen unendlich schicken und danach erst die anderen betrachten. Warum eigentlich auch so kompliziert? $\begin{eqnarray} \frac {2n+1}{n^2} \end{eqnarray}$ ist doch sicherlich größer als $\begin{eqnarray} \frac {2n}{n^2} \end{eqnarray}$ .
19.01.2012, 21:12	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
aber dann habe ich ja noch oben und nach unten die gleiche Abschätzung genommen oder??
19.01.2012, 21:34	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Abschätzung im ersten Post ist falsch, dachte das hätte ich schon erwähnt. Etwa für n=2: $\begin{eqnarray} \left(1+\frac {2n+1}{n^2-1}\right)^n=\left(1+\frac 53\right)^2 = \left(\frac 83\right)^2=\frac {64}9 \stackrel ?\leq 2 = \left(1+\frac 2n\right)^n \end{eqnarray}$ Eine mögliche Abschätzung nach oben wäre etwa $\begin{eqnarray} \left(1+\frac {2n+1}{n^2-1}\right)^n<\left(1+\frac {2n+2}{n^2-1}\right)^n \end{eqnarray}$ , was man dann weiter unter Anwendung der dritten binomischen Formel bearbeiten kann.
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19.01.2012, 22:01	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, ich habe es nochmal versucht! Abschätzung 1) $\begin{eqnarray} (1 + \frac{2n+1}{n^2 -1})^n \geq (1 + \frac{2n +1}{n^2})^n \geq (1 + \frac{2 + \frac{1}{n} }{n} )^n \to e^{2+\frac{1}{n}} \to e^2 (n \to \infty) \end{eqnarray}$ also ich hab die jetzt bissle anders gemacht, ich fand es so verständlicher, weil ich dann nur den Bruch betrachte und das ganze wird ja kleiner, wenn ich den Nenner des Bruchs größer mache! Abschätzung 2) $\begin{eqnarray} (1 + \frac{2n+1}{n^2 -1})^n \leq (1 + \frac{2n}{n^2})^n = (1 + \frac{2}{n})^n \to e^2 \end{eqnarray}$ so und nach dem Sandwichlemma geht jetzt auch die ursprüngliche Folge gegen e^2 passt es jetzt?
19.01.2012, 22:09	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Da stimmt aber doch gar nichts dran. Deine zweite Abschätzung entspricht genau der, die du in deinem ersten Post hast. Diese ist aber falsch. Auch deine erste Abschätzung ist falsch, du darfst nicht einfach einen Teil der $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ gegen $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ laufen lassen und einen anderen Teil nicht, bloß weil es dir gerade so passt.

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