Eindeutige Lösung eines LGS für Parameter a

19.01.2012, 16:57

Nimeu92

Eindeutige Lösung eines LGS für Parameter a

Hallo,

ich habe eine Problem mit folgendem LGS.

I 3x-6y=4
II 4x-ay=a-1

Die Frage lautet: Für welche Werte des Parameters a liegt eine eindeutige Lösung vor?

Ich habe es schon auf verschiedene Weisen versucht, zum Beispiel erst x zu eliminieren oder Gleichung II nach a umzustellen aber nichts sieht nach einer Lösung aus. Das Problem ist, dass ich selber nicht genau weiß wonach ich eigentlich suche und die Aufgabe wahrscheinlich ganz einfach ist.

Ich würde mich sehr über eure Hilfe freuen! smile

19.01.2012, 18:52

Christian_P

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Die Lösung ist nicht, wie gewöhnlich ein einziger Wert, sondern ein Term.

Stelle z.B. mal die 1. Gleichung nach x um und setzte dann den Term für x in die 2. Gleichung ein, und stelle dann diese Gleichung nach y um. So bekommst du dann den Term für y heraus. $\begin{eqnarray*} y=\cdots \end{eqnarray*}$ Und dann diesen Term in eine der Gleichung für y einsetzten, dann hast du $\begin{eqnarray*} x=\cdots \end{eqnarray*}$ heraus.
x kannst du auf jeden fall auch durch Addition der Gleichungen eliminieren, und dann nach y umstellen.

Grüße

19.01.2012, 21:51

Nimeu92

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Ich habe jetzt folgende Werte raus:

$\begin{eqnarray*} x=\frac{6y+4}{3} y=\frac{-19+3a}{24-3a} a=-\frac{18y-162}{54} \end{eqnarray*}$

Stimmt das? verwirrt

19.01.2012, 23:09

original

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.
y hast du richtig gerechnet..

x solltest du nochmal überprüfen

und:
für alle a , ausser für a=8 , wirst du immer eine eindeutige Lösung finden ..
überlege, warum

und noch was:
a ist ein Parameter, der weder von y noch von x abhängig ist ,
also: dein Vorschlag für a ist eh nicht sinnvoll weil da das y rumsteht.

19.01.2012, 23:16

Nimeu92

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Okay, a darf nicht 8 sein, da man sonst durch 0 teilen müsste.

Und wenn ich die zweite Gleichung umstelle, dann komme ich für x auf folgendes:

$\begin{eqnarray*} x=\frac{-1+a+ay}{4} \end{eqnarray*}$

19.01.2012, 23:23

original

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du hast oben schon richtig :

$\begin{eqnarray*} y=\frac{-19+3a}{24-3a} \end{eqnarray*}$

und da wirst du es vielleicht doch auch noch schaffen, für x dies zu finden:

$\begin{eqnarray*} x= \frac{ ? }{24-3a} \end{eqnarray*}$

und:
deine Begründung für "a darf nicht 8 sein" ist richtig Freude

19.01.2012, 23:31

Nimeu92

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Ich weiß nicht wie du auf das x kommst leider verwirrt

Entweder ich bekomme das von mir oben genannte x raus oder das hier:

$\begin{eqnarray*} x=\frac{6y+4}{3} \end{eqnarray*}$

Das bringt mir aber nichts, wie ich jetzt verstehe! Big Laugh

19.01.2012, 23:42

original

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Vorschlag:
multipüliziere Gleichung I. mal (- a )
multipüliziere Gleichung II. mal ( + 6 )

und addiere dann beide
?...... bekommst du nun x= .... smile

19.01.2012, 23:51

Nimeu92

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Dann komme ich auf folgendes:

$\begin{eqnarray*} x=\frac{2a-6}{24-3a} \end{eqnarray*}$

Ich habe garnicht daran gedacht, dass ich ja auch mit -a multiplizieren könnte!

Hoffentlich stimmt es jetzt. Vielen Dank original! Freude

19.01.2012, 23:56

original

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ja, jetzt sieht es gut aus Freude

und auch hier siehst du nochmal: dieser Term ist für alle a - ausser a=8 - definiert

und damit kannst du die Frage, die eigentlich nur gestellt war, klar beantworten : ....

19.01.2012, 23:59

Nimeu92

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Für alle Werte des Parameters $\begin{eqnarray*} a\neq 8 \end{eqnarray*}$ liegt eine eindeutige Lösung vor. Tanzen

20.01.2012, 16:59

Nimeu92

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Hey, habe noch eine Aufgabe dieser Art gerechnet und würde gerne wissen, ob meine Ergebnisse stimmen. Ich gebe nicht eher nach, bis ich das richtig kapiert habe! Big Laugh

Die Gleichungen sind:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}x-\frac{3}{5}y=16 ax+(1-a)y=5 \end{eqnarray*}$

Gesucht sind wieder Werte des Parameters für die eine eindeutige Lösung vorliegt.

Meine Ergebnisse:

$\begin{eqnarray*} x=\frac{192a-30}{-5-a}+32 y=\frac{-32a+5}{1+\frac{1}{5}a } \end{eqnarray*}$

20.01.2012, 17:30

original

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Zitat:

Original von Nimeu92
Ich gebe nicht eher nach, bis ich das richtig kapiert habe! Freude

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}x-\frac{3}{5}y=16 ax+(1-a)y=5 \end{eqnarray*}$

Gesucht sind wieder Werte des Parameters für die eine eindeutige Lösung vorliegt.

deine Ergebnisse sind (fast) richtig .. (wann gibts denn nun keine Lösung?)

und ohne Bruchrechnen zu müssen:

$\begin{eqnarray*} 5x -6y=160 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ax+(1-a)y=5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=\frac{190-160a}{a+5} y= \frac{25-160a}{a+5} \end{eqnarray*}$

nebenbei:
die Antwort auf die Frage, wann eine eindeutige Lösung vorliegt,
könntest du (ohne x und y berechnen zu müssen) ganz schnell
finden, wenn du die Koeffizienten-Determinante untersuchst..

.

20.01.2012, 18:43

Nimeu92

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Dann bin ich schon mal beruhigt, dass es eigentlich stimmt. Freude

Ich hoffe mit etwas mehr Erfahrung kann ich auch alles so schön vereinfachen. Augenzwinkern

Für a=-5 liegt keine Lösung vor, daran habe ich garnicht mehr gedacht.

Vielleicht ist es eine dummer Frage, aber was ist die Koeffizientnen-Determinante?

Und du bist wirklich eine sehr große Hilfe original! Machst du Mathematik nur als Hobby oder ist das deine Profession? Big Laugh

20.01.2012, 19:05

original

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Zitat:

Original von Nimeu92

Vielleicht ist es eine dummer Frage, aber was ist die Koeffizientnen-Determinante?

1.
dumme Fragen gibt es nicht
2.
google doch mal
zB:

http://www.rzbt.haw-hamburg.de/dankert/W...unbekannte.html

http://de.wikipedia.org/wiki/Cramersche_...stem_2._Ordnung

usw, usw...

.

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