Nebenklassen

19.01.2012, 18:59	Jojo7	Auf diesen Beitrag antworten »
Nebenklassen Meine Frage: Ich habe ein paar Fragen zu Nebenklassen: Sei G eine Gruppe und H eine Untergruppe von G. xH = { $\begin{eqnarray} xh\|h\in H \end{eqnarray}$ } ist die Linksnebenklasse von x zu H. In meinem Skript steht, dass G in eine disjunkte Vereinigung von Linksnebenklassen zerfällt. Das verstehe ich nicht. Das bedeutet doch, dass die Linksnebenklassen disjunkt sind und die Vereinigung aller Linksnebenklassen G ergeben. Aber es kann doch sein, dass xh1 = yh2, oder? Damit wäre das gleiche Element in zwei Nebenklassen und dann sind sie doch nicht disjunkt. Oder habe ich da was völlig falsch verstanden? Meine Ideen: Würde mich sehr über eure Hilfe freuen!
19.01.2012, 19:41	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} xh_1=yh_2\Rightarrow x=yh_2h_1^{-1}\in yH \end{eqnarray}$ , ebenso $\begin{eqnarray} y\in xH \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} xH=yH \end{eqnarray}$ .
19.01.2012, 22:52	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Aussage bedeutet nicht, dass stets $\begin{eqnarray} xH \cap yH = \emptyset \end{eqnarray}$ , sondern es gilt: Entweder ist $\begin{eqnarray} xH=yH \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} xH \cap yH = \emptyset \end{eqnarray}$ Und nun ist natürlich $\begin{eqnarray} G = \bigcup_{x \in G} xH \end{eqnarray}$ . Im Allgemeinen ist diese Vereinigung noch nicht disjunkt. Aber alle Mengen, die vorkommen, sind entweder gleich oder disjunkt. Und daher kann man nun aus jeder Nebenklasse genau einen Vertreter aussuchen und erhält die disjunkte Vereinigung: $\begin{eqnarray} G = \bigcup_{xH \in G/\sim} xH \end{eqnarray}$ Dabei ist $\begin{eqnarray} \sim \end{eqnarray}$ gerade die Äquivalenzrelation, die durch $\begin{eqnarray} x \sim y \Longleftrightarrow xH=yH \end{eqnarray}$ gegeben ist.
21.01.2012, 14:45	Jojo7	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für eure Antworten. Jetzt verstehe ich es :-)

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