Normalverteilung

19.01.2012, 19:59

Roalra

Normalverteilung

Hallo,

ich habe folgende Zahlen gegeben:

22, 6, 8, 35, 33, 22, 29, 12, 10, 28, 9, 55, 39, 32, 27, 31, 15, 16, 27, 14

Der Alpha - Fehler beträgt 0,01
Die Grundgesamtheit ist Normalverteilt

Nun soll ich das Intervall berechnen, in welchem ein signifikantes Ergebnis vorliegt.

Leider ist hier keine Varianz der Grundgesamtheit gegeben, sodass ich nicht wirklich weiß wie ich anfangen muss...

Ich hab's mal probiert:

Ich hab mal den Mittelwert ausgerechnet = 23,5
Die Standardabweichung der Stichprobe beträgt: 12,15

Nun weiß ich aber leider nicht weiter.

Darf ich da jetzt einfach in der Tabelle der Standardnomalverteilung für Wahrscheinlichkeit = 0,995? Dann wäre z = 2,575?

Das kann aber nicht stimmen, weil 23,5 - 2,575 * 12,15 = -8,6875 ist.

Kann mir bitte jemand helfen?

THX!

19.01.2012, 22:52

Dopap

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und die andere Grenze wäre 55.2 und liegt auch ausserhalb aller Werte.

Bei so wenigen und so stark schwankenden Werten der Stichprobe liefert die Normalverteilung eben nichts besseres als das Intervall [-8.7,55.2]

Meine Meinung.

19.01.2012, 23:00

Roalra

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Hi,

danke für die Antwort.

Aber es gibt doch noch auch die Fromel, dass ich die Standardabweichung durch [latex] \sqrt{n} [latex] rechne?

Wird das dann hier verwendet?

Gruß

19.01.2012, 23:13

Black

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RE: Hilfe bei Normalverteilung

Zitat:

Original von Roalra
[...]
Nun soll ich das Intervall berechnen, in welchem ein signifikantes Ergebnis vorliegt.
[...]

Die Formulierung ergibt so keinen Sinn, am besten gibst du mal die Aufgabenstellung wörtlich wieder.

Ich vermute mal dass es hier um ein Konfidenzintervall geht, aber für welchen Parameter?
Um dir helfen zu können brauchen wir die genauen Angaben

20.01.2012, 10:05

Roalra

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Hi!

Also:

Bei einer Befragung von Badegästen wurden folgede Stichprobenergebnisse für das Alter ermittelt:

22, 6, 8, 35, 33, 22, 29, 12, 10, 28, 9, 55, 39, 32, 27, 31, 15, 16, 27, 14

Nun soll aufgrund der Stichprobe das Durschnittsalter aller Badegäste ermittelt werden, unter der Voraussetzung, dass die Grundgesamtheit Normalvertielt ist. Das Konfid.-Niveau beträgt 0,99.

Weiß jemand wie das nun zu rechnen ist?

Danke!

20.01.2012, 12:48

Dopap

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Es gilt,galt:

$\begin{eqnarray*} \overline x =23.5 \end{eqnarray*}$
Standardabweichung von x : $\begin{eqnarray*} s =12.15 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ = Mittelwert der Grundgesamtheit
$\begin{eqnarray*} n=20 \end{eqnarray*}$

soweit warst du ja schon.

Die einzig sinnige Frage ist nun, in welchem Intervall liegt $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ bei einer Sicherheit von 99%

jetzt der entscheidende Punkt: die Standardabweichung von $\begin{eqnarray*} \overline x \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \sigma =\frac {s}{\sqrt {n}} \end{eqnarray*}$

Schaut man in Tabellen zur standardiesierten Normalverteilung nach, kann man ablesen, dass 99% der Werte im Intervall $\begin{eqnarray*} z=\pm 2.6 \end{eqnarray*}$ liegen.

für das Beispiel umgerechnet:

$\begin{eqnarray*} \mu_{links}&=&\overline x - z\sigma \\ \mu_{rechts}&=& \overline x+z\sigma \end{eqnarray*}$

Die Zahlenrechnung überlasse ich dir. Augenzwinkern

20.01.2012, 13:07

Roalra

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Hallo!

Danke für die Hinweise!

Ich versteh aber nich, warum ich $\begin{eqnarray*} \frac{s}{\sqrt{n} } \end{eqnarray*}$
rechne.

Gruß

20.01.2012, 13:55

Dopap

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s ist die Streuung der Einzelwerte x.

$\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ ist die Streuung der Mittelwerte $\begin{eqnarray*} \overline x \end{eqnarray*}$ .

Wenn du z.B. 20 Stichproben a 20 nimmst, dann streuen die 20 $\begin{eqnarray*} \overline x \end{eqnarray*}$ wesentlich weniger als die Einzelwerte x.
Ist doch irgendwie verständlich!

20.01.2012, 14:01

Huggy

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Zitat:

Original von Roalra
Ich versteh aber nich, warum ich $\begin{eqnarray*} \frac{s}{\sqrt{n} } \end{eqnarray*}$
rechne.

Wenn eine Zufallsgröße X normalverteilt ist mit Standardabweichung $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ , dann ist der Mittelwert einer Stichprobe vom Umfang n normalverteilt mit der Standardabweichung $\begin{eqnarray*} \sigma/\sqrt n \end{eqnarray*}$ .

Noch zwei Anmerkungen zu deiner Rechnung und der Hilfestellung von Dopap:

Es interessiert hier nicht die Standardabweichung der Stichprobe, sondern ein Schätzwert für die Standardabweichung der Grundgesamtheit. Dieser Schätzwert ist mit dem Faktor $\begin{eqnarray*} 1/(n-1) \end{eqnarray*}$ zu berechnen und nicht mit dem Faktor $\begin{eqnarray*} 1/n \end{eqnarray*}$ . Es ergibt sich dann $\begin{eqnarray*} s = 12.47 \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} s = 12.15 \end{eqnarray*}$ .

Wenn die Standardabweichung der Grundgesamtheit nicht bekannt ist, sondern aus der Stichprobe geschätzt wird, ist der Faktor z von Dopap nicht der Normalverteilung zu entnehmen, sonder der t-Verteilung mit $\begin{eqnarray*} n-1 \end{eqnarray*}$ Freiheitsgraden. Als Faustregel gilt, dass man für $\begin{eqnarray*} n \geq 30 \end{eqnarray*}$ näherungsweise die Normalverteilung benutzen kann. Bei $\begin{eqnarray*} n = 20 \end{eqnarray*}$ sollte man also die t-Verteilung benutzen.

20.01.2012, 14:13

Dopap

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@huggy:mir ist das schon bekannt. Aber ob auf solche Feinheiten im Unterricht eingegangen wird? eher nicht.
kleine Kritik: Es steht ausdrücklich, das die Grungdesamtheit normalverteilt ist. Das ist doch ein klarer Hinweis, dass Studentsche T Vert. nicht notwendig ist.

20.01.2012, 14:23

Huggy

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Es mag sein, dass man in der Schule die t-Verteilung nicht erwähnt. Vielleicht aber doch, denn die heutigen wissenschaftlichen Taschenrechner haben sie meistens implementiert. Der Korrektheit halber sollte man jedenfalls darauf hinweisen.

Die Tatsache, dass bekannt ist, dass die Grundgesamtheit normalverteilt ist, ändert nichts daran, dass z mit der t-Verteilung zu bestimmen ist, wenn die Standardabweichung der Grundgesamtheit aus der Stichprobe geschätzt wird.

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